Общее определение игры. Частные классы игр

Достаточное общее определение игры дано в работах Э.Й. Вилкаса [39] и Н.Н. Воробьева [43] (см., например, реферат работы [39] в приложении к работе1).

Определение 1.1 [26]. Игрой называетсянабор

                         ,                      (1.1)

где N – произвольное множество игроков,  – множество коалиционных структур , K – коалиция – группа игроков, которой приписаны действия и интересы,  – произвольное множество стратегий коалиции  (при любом Р: ); S – произвольное множество всех исходов игры на ,  – множество возможных исходов на , если коалиция K применяет стратегию , — транзитивное отношение предпочтения коалиции .

Индивидуальные предпочтения, как правило, формируются на некоторых отображениях  из , которые являются функциями выигрыша (потерь). Тогда предпочтительность исхода  по сравнению с исходом  ( ) означает, что  для всех .

Множество  позволяет каждой коалиции оценивать, как выбор коалицией K конкретной стратегии  изменяет множество возможных исходов.

Определение 1.2. Коалиционной структурой (разбиение множества N) называется такое семейство коалиций , что

                         для всех  (и ),

                            для всех K, ,                       (1.2)

                               для любого .

Если игроки разбились на коалиции и эти коалиции выбрали свои стратегии, то считается, что игра Г разыграна.

Определение 1.3. Для любой коалиционной структуры P набор стратегий  называется ситуацией в игре.

При реализации ситуации  множество исходов сужается до . Далее предполагается, что последнее множество исходов состоит из единственного элемента [39].

Замечание 1.1. При отсутствии коалиций ,  получаем частный случай определения 1.1

.

Более полное представление об игровых структурах дают следующие два обобщения определения 1.1:

1) Могут иметь место пересекающиеся коалиции. Тогда пункт два определения 1.2 выполняется, например, для всех  и , кроме некоторых ` . Если две пересекающиеся коалиции `  и `  выбирают стратегии одновременно, то они должны обменяться информацией для согласования своего выбора, т.е. они действуют как коалиция` . Следовательно, для таких коалиций необходимо задавать , из которого осуществляется одновременный выбор стратегий коалициями  и .

2) С учетом определения игры по Н.Н. Воробьеву [43], когда действия и интересы представляются в разных коалиционных структурах  и  соответственно, причем ,  – множество стратегий коалиции , ситуация  порождает исход , отношения предпочтения формируются над коалициями , а исходное определение 1.1 игры принимает вид следующего определения.

Определение 1.4. Игрой с разными наборами коалиций действия и интересов называется набор

     (1.3)

с реализацией , .

Кроме исхода игры, вводится понятие состояния игры и множества стратегий ставятся в зависимость от состояния игры.

Определение 1.5 [39]. Динамической игрой называется набор

                    ,                 (1.4)

где , , S, W,  – произвольные множества игроков, коалиционных структур, неокончательных состояний игры и множества окончательных исходов игры;  – произвольное множество стратегий коалиции  в состоянии ; – множество исходов (как окончательных, так и неокончательных) после применения коалицией стратегий ;  – предпочтение коалиции K на множестве конечных исходов W.

Реализация динамической игры состоит из последовательности состояний игры  и коалиционных структур  в данных состояниях и выбранных ситуаций , , причем в ситуациях  возможны исходы из S, в том числе , а в ситуации  – только из W. То есть из  следует , , .

Данная формулировка [39] расширяет обычное понятие динамической игры. В обычных динамических играх – основная проблема в обмене информацией между участниками игры, а коалиции образуются по предписанным правилам или до начала игры. Обычная динамическая игра в нормальной форме соответствует одному шагу игры в определении 1.5.

В рамках определения 1.1 можно сформировать, как частные случаи, определения бескоалиционных, коалиционных и кооперативных игр.

Так, если зафиксировать во множестве коалиционных структур  структуру Р (или считать ), то на фиксированной структуре  (на N) коалиции (игроки) независимо друг от друга выбирают свои стратегии , . Пусть предпочтения коалиций (игроков) представлены их функциями выигрыша  на множестве ситуаций . Ситуации становятся исходами игры. Выбор стратегии `  коалицией K (игроком i) ограничивает множество исходов до множества стратегий

.

Определение 1.6. Бескоалиционной игрой при фиксированном Р называется набор

                                          ,                                      (1.5)

где Р – фиксированное разбиение,  или , при отсутствии разбиения Р¹ Æ – набор

                                              .                                          (1.6)

Аналогичное описание коалиционной игры приводит к следующему определению.

Определение 1.7. Коалиционной игрой называется набор

                                         ,                                     (1.7)

 (при любом множестве Р ),

.

Для получения определения кооперативной игры вводится характеристическая функция , , т.е. числовая функция, определенная на множестве  всех подмножеств множества игроков N, .

Определение 1.8. Кооперативная игра на основе характеристической функции  с  моделирует распределение между игроками из N общего их выигрыша  согласно силе коалиции  и описывается набором

                               ,                            (1.8)

где ; ;

;

;  означает .

Частный случай кооперативной игры может быть сформулирован на основе векторной оптимизации.

Определение 1.9 [32]. Кооперативной игрой называется набор

                                               ,                                           (1.9)

где  – множество ситуаций.

И, наконец, в плане иерархических игр один или несколько игроков ограничивают множество исходов остальных за счет права первого хода. Остальные игроки в зависимости от условий разыгрывают игру в рамках одного из четырех классов игр. В работе Э.Н. Вайсборда, В.И. Жуковского [32] предложено следующее определение.

Определение 1.10 [32]. Иерархической игрой называется набор

                                       ,                                 (1.10)

где N – число игроков в игре, L – число игроков, имеющих право первого хода, – число координируемых игроков,  – общее множество стратегий,  – множество стратегий координируемых игроков.