Модель олигополии, использующая динамическое описание производственного процесса

Модель деятельности предприятия на однотоварном рынке [211]. Управление капиталом связано с процессом погашения кредита в банке, а управление трудовыми ресурсами – с объемом выпускаемой продукции. Взяв кредит в банке, предприятие создает производственную мощность:

                                                 ,                                         (11.27)

где  – цена средств производства,  –банковский кредит,  – приростная фондоемкость,  – момент кредитования (начало работы).

Пусть у всех фирм технологический параметр  одинаков. В дальнейшем мощность уменьшается вследствие технологического износа. Пусть  –мощность в момент  предприятия, образовавшегося в момент ,  – темп выбытия оборудования, тогда

                                                        (11.28)

Выпуск продукции в момент  предприятием, образовавшимся в момент , обозначим . Он подчинен ограничению

                                              .

Выпуск  требует затрат живого труда в количестве , где l(t, t) – трудоемкость единицы продукции. Положим

                                        ,                                (11.29)

где  – трудоемкость единицы продукции, выпускаемой на новом оборудовании. Считаем  постоянной величиной. Таким образом, выпуск продукта приносит фирме доход:

,

                                             

где  – ставка заработной платы,  – цена единицы продукции.

Задолженность в момент начала работы  растет за счет начисления процента по текущей ставке  и уменьшается за счет платежей погашения . Следовательно задолженность  изменяется в силу уравнения

                       .               (11.30)

Банк накладывает ограничения на задолженность:

,

где  – балансовая стоимость предприятия, образовавшегося в момент t, которая подчиняется уравнению

                                                  (11.31)

Здесь  – норма амортизации, которую считаем одинаковой для всех предприятий. Погашение кредита  производится за счет дохода предприятия . Остаток дохода образует дивиденды  собственников фирмы:

                                     

Дивиденды поступают в банк и образуют депозит собственников предприятия , на которые начисляется единый процент :

       

Потребление собственников учитывать не будем.

Моделирование взаимодействия предприятий на товарном рынке. Рассмотрим ситуацию, в которой параметры экономических механизмов регулирования обладают следующими свойствами:

 – начисляемый на задолженность процент неизменен во времени;

 – начисляемый на дивиденд процент неизменен во времени;

 – ставка заработной платы для данной отрасли постоянна;

 – цена покупки средств производства неизменна во времени;

 – приростная фондоемкость не зависит от фирмы и времени покупки средств производства;

 – текущая цена товара, определяемая из следующих предположений о рынке сбыта: рынок только образовался; рынок представляет собой олигополию; модель функции спроса на товар:

                                                          (11.32)

где  – выпуск продукции предприятия, образовавшегося в момент  на отрезке времени .

Заданы величины , связанные равенствами:

                                                                  (11.33)

предположим, что предприятие выбирает q так, чтобы максимизировать величину вклада y в некоторый момент времени T.

Постановка задачи:

;

                                         (11.34)

Условие  описывает стремление предприятия, помимо накопления капитала, уделять повышенное внимание погашению задолжности.

Через обозначен возраст предприятия: .

Начальные условия:

                               .                       (11.35)

Конечные условия:

                                                        .                                                (11.36)

Текущие ограничения:

                                 .                         (11.37)

Ограничения на параметры управления :

                                                                 

                                   (11.38)

11.6. Стабильно-эффективные компромиссы
на моделях динамической олигополии

Расчет СТЭК-7 для задачи управления производством на однотоварном рынке в условиях дуополии, описанной динамической моделью. Рынок представлен двумя предприятиями. Целью каждого предприятия является максимизация счета в банке

                          года.                  (11.39)

Начальный кредит предприятий при  млн. руб.,  млн. руб.

Цена покупки средств производства :  млн. руб.

Приростная фондоемкость на момент закупки оборудования ед. средств производства/200 ед. продукта производства в год.

Процент, начисляемый на дивиденд, , тогда

                    .

Процент, начисляемый на задолженность, r₁ = 0,02, выплаты по задолженностям производятся фирмами в размере пятой части от дохода

                    .

Норма амортизации , и темп выбытия оборудования для первой фирмы , а для второй фирмы :

                        

Трудоемкость единицы продукции, выпускаемой на новых мощностях, для первой фирмы , для второй фирмы . Таким образом:

                               

                               

где  тыс. руб./мес. – средняя заработная плата в отрасли, причем .

Цена на товар и объем выпуска товара на отрезке времени 1 мес. постоянны и связаны:

                                             ,

где  млн.руб/ мес.

Найдем СТЭК для предприятий, имеющих показатели

                                

где  – параметры управления , причем в  символ – год производства.

Результаты оптимизации представлены на рис. 11.13.

Точка СТЭК находится в области Парето–Нэш-оптимальных компромиссов. Найдем точку Шепли.

Координаты точки Нэш:

          ; .

В выбранной точке Парето-множества

                    ; ;

                              ;

           

 

Рис. 11.13. Результаты оптимизации дуополии

Рис. 11.14. Программные управления

В точке СТЭК функция управления объемом производства имеет вид (рис. 11.14)

           , .

Величина вклада каждой фирмы составит

 млн. руб.,  млн. руб.

Было проведено исследование влияния на СТЭК различных параметров модели:  тыс. руб./мес., 100 млн. руб./мес.  млн.руб./мес., .

Результаты подтверждают выводы, полученные ранее для статической модели:

· с ростом зарплаты величина депозита y_i уменьшается;

· при росте покупательской способности величина депозита y_i возрастает.

В [54] приведен расчет СТЭК для задачи прогноза производства на однотоварном рынке в условиях триополии, описанной динамической моделью методом проекций.

Точка Шепли дает оценку наилучшего кооперативного результата СТЭК-6 (точнее его этапа, который позволяет найти точку Парето, близкую к точке Шепли), которого можно достигнуть на множестве коалиционных объединений. Далее, аналогично модели статической олигополии, возникают два варианта в зависимости от возможности решения исходной задачи, условий и степени приближения. В первом варианте на основе СТЭК-7 определяются и применяются УКУ-решения каждой фирмы, когда на ее угрозы всегда существует контругроза остальных фирм и наоборот, т.е., когда двусторонние УКУ рассматриваются только в рамках пары  c фиксированным . Тогда исходная трехмерная задача сводится к трем двумерным. Во втором варианте необходимо находить множество УКУ дифференциальной игры трех фирм как общих точек трех проекционных задач и в соответствии со СТЭК-7 определять точку УКУ наиболее близко к найденному дележу по Шепли.