Устойчивость двухслойных разностных схем

Разностные схемы для уравнений параболического типа

 

Решение задачи Коши

 

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

 

, , ,  (3.5)

 

с условием на прямой t = 0

 

, . (3.6)

 

Требуется найти функцию , которая при и удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при  выполняла бы условие (3.6).

Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение , непрерывное вместе со своими производными

 

, i =1, 2 и , k =1, 2, 3, 4.

 

Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде . Для этого достаточно положить

 

Будем далее считать, что t изменяется в пределах . В рассматриваемом случае

 

,

 

Г − объединение прямых t=0и t=T.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область сеточной областью . К области отнесем совокупность узлов , где

 

, , ,

, , , .

 

Заменим задачу разностной схемой вида . Обозначим через точное значение решения задачи в узле , а через – соответствующее приближенное решение. Имеем

 

 

Для замены выражений и воспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:

 

, (3.7)

 

, (3.8)

 

, (3.9)

 

 (3.10)

 

Назовем некоторую совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи в узле , разностной схемой , шаблоном. Наиболее употребительные шаблоны изображены на рис. 3:

 

 

Рис. 3. Явный и неявный шаблоны

 

Рассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него

 

(3.11)

 

Здесь мы воспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили

 

.

 

Введем обозначение

(3.12)

 

Теперь на основании формул (3.11), (3.12) можно записать разностную схему для задачи :

 

, (3.13)

 

где разностный оператор определяется по правилу

 

 

Аналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:

 

,  (3.14)

 

где

 

На основании формул (3.11) и (3.13) можно записать

 

,

 

где

 

Аналогично, используя (3.11), (3.10), (3.14), получим

 

,

 

.

 

Выясним порядок аппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве  возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций

 

.

 

Норму в определим правилом

 

Пусть , где r и s– некоторые положительные числа.

Предположим, что для и  верны оценки

 

, .

 

Тогда легко получить

 

, (3.15)

 

. (3.16)

 

Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S=2, а в случае схемы (3.14) можно взять S =1.

Из формул (3.15), (3.16) следует, что разностные схемы (3.13), (3.14) аппроксимируют задачу с погрешностью порядка S относительно h.

Разностная схема (3.13) позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям вычислить значения на первом слое . Для этого достаточно в (3.13) положить n= 0и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям можно аналогично при n = 1 вычислить значения и т.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной.

Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n = 0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений , в правой части будут значения известной функции и . Для вычисления значений на первом слое  в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3.14) называют неявной.

 

Устойчивость двухслойных разностных схем

 

Определим норму в пространстве  по правилу

 

.

 

Рассмотрим явную разностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r,  возможна устойчивость этой схемы.

Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых

 

,

 

имеет место оценка ,

где М – постоянная, не зависящая от  и  и .

Разностная схема (3.13) – явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.

Перепишем формулу  в виде

 

, , (3.17)

 

.

 

Пусть выполнено условие

 

 или .  (3.18)

 

Тогда из (3.17) получим:

 

,

или

. (3.19)

 

Неравенство (3.19) означает, что при , не превосходит , то есть  не возрастает с увеличением n.

Это свойство однородной разностной схемы принято называть принципом максимума. Положим в (3.19) . Это даст

,

,

.

 

Заметим, что есть число, независящее от m и n. Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что , получим

 

  (3.20)

 

где обозначено

 

 

На основании (3.20) можно записать

 

 или .

 

Таким образом, разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на и h, устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что

. (3.21)

 

Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13) шаг по времени приходится выбирать очень малым.

Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,

 

Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон

 

и перепишем ее в виде

 (3.22)

 

Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить, например, значения на первом временном слое со значениями на нулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n = 0, получим:

   (3.23)

 

Формулы (3.23) представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных .

Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобны для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок оси x, на котором рассматривается задача Коши, конечен, то есть , а на прямых x = a и x = b дополнительно заданы некоторые ограничения на решение , то разностные схемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях .

Если, например, на отрезках прямых x = a и x = b, заданы условия , , то вид системы (3.23) существенно изменится:

 

 (3.24)

 

Формулы (3.24) представляют собой систему M +1 алгебраических уравнений относительно . Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение . Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения

 

 

число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.

Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6) с погрешностью порядка и устойчива при . Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка .