Скалярная проекция гиперкомплексных чисел.

Будем искать оператор поворота в виде

Будучи примененным к вектору A, этот поворот должен дать действительное число:

Несложно видеть, что этому уравнению удовлетворяет решение

Или, иначе говоря, сам вектор A и задает оператор поворота, на который следует его повернуть, чтобы получить действительное число.

Применив этот оператор поворота к вектору B, получим:

И для того, чтобы получить проекцию, следует взять действительную часть вектора B’ и провести соответствующую нормировку, поскольку указанным поворотом мы исказили величину модуля вектора B.

К числу весьма важных свойств скалярного произведения относится:

Поэтому, стремясь найти для гиперкомплексных чисел полную аналогию скалярному произведению, мы не будем использовать нормировок. В этом случае определенное выше правило выглядит как:

И для случая A = B переходит в

Перечислим еще раз свойства скалярного произведения в классическом варианте и найдем соответствия им в случае гиперкомплексных чисел:

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k - любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

Для первого свойства вышеприведенное правило построения проекции не подходит, поскольку

Поскольку даже для тех алгебр, для которых может быть отрицательным числом, число всегда положительно, но исключение составляет условие

(x,x) = 0 только при x = 0

Тут следует сделать оговорку, что в гиперкомплексных алгебрах случай идеалов вовсе не является исключением, поэтому для скалярной проекции гиперкомплексных чисел вполне возможно снять это условие и разрешить

при

Рассмотрим второе свойство скалярного произведения

(x,y) = (y,x)

В случае построения аналогии в нашем случае следует доказать, что

Для этого докажем промежуточные равенства:

a)

b)

Для доказательства равенства a) рассмотрим коэффициенты таблицы произведения мнимых единиц в алгебрах Кэли - Диксона:

где через обозначены мнимые единицы гиперкомплексной алгебры, - коэффициенты произведений. Для всех гиперкомплексных алгебр Кэли - Диксона, определенных подобной таблицей произведений, выполняется

при

Таким образом, в произведении в действительной части будут присутствовать только четные степени при , а нечетных не будет.

Обозначив через элемент алгебры, алгебраически сопряженный элементу X, а через - сопряжение путем смены знаков у всех коэффициентов при мнимых единицах, получим:

Сопряжение еще можно назвать фазовым сопряжением, поскольку сопрягается фаза числа. Поскольку выражение для определено в виде полиномиального ряда, то в будут входить только четные функции от мнимых компонентов фазы числа X. Поскольку функции четные, например ch или cos, то действительная часть при алгебраическом сопряжении не меняется:

Для доказательства промежуточного равенства b) рассмотрим также таблицу произведений мнимых единиц алгебр Кэли - Диксона:

Поскольку раскрыв произведение ab мы получим гиперкомплексное число, рассмотрим образование его действительной части. В нее входят:

- произведение действительных частей a и b.

- произведение одинаковых мнимых компонентов a и b.

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона нельзя получить действительного числа из произведений

при

а две вышеприведенные составляющие не зависят от порядка сомножителей a и b, то, следовательно,

Для доказательства соответствия предложенной формы скалярной проекции второму свойству скалярного произведения просто преобразуем выражение:

Таким образом, если скалярному произведению (x,y) сопоставлять , то правило коммутативности скалярного произведения выполняется.

Соответствие предлагаемой формы скалярной проекции третьему свойству скалярного произведения проверяется непосредственно: если k - действительное число, то

, поэтому

Для проверки соответствия четвертому свойству используем второе и проверим:

(x,y + z) = (y + z,x) = (y,x) + (z,x)

Распишем скалярную проекцию:

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона сложение определено покомпонентно, то для любых двух чисел a и b:

Таким образом, введенная нами форма скалярной проекции соответствует четвертому свойству скалярного произведения: