Обозначение сигма ( S )

Анализ большинства данных включает, между прочим, сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Поскольку мы хотим поговорить о выполнении этих операций над группой чисел вообще, произведем операции на символах вместо чисел.

Последовательность Х₁, Х₂, ..., Х_п представляет собой группу из n чисел, каждое число которой можно записать как Xi. Х₁ + Х₂ заменяет сумму первого и второго чисел. Порядок индексов обычно совершенно произволен. С тем же успехом можно было бы использовать Х₂ + Х₁ Х₁ + Х₂ + Х₁₀ представляет собой сумму первого, второго и десятого номеров.

Часто мы хотим сложить все числа группы. Если в группе имеется 5 чисел, то n = 5, а сумма всех чисел равна Х₁ + Х₂ + … + Х₅ Х₁ + Х₂ + … + X_n обозначает сумму всех n чисел в группе, когда точное значение n не сговорено.

Сокращение записи для Х₁ + Х₂ + … + X_n, которое часто употребляется, выглядит так: Х_i

Х_i обозначает Х₁ + Х₂ + … + X_n

Х_i = Х₁ + Х₂ + X₃              Х_i = Х₃ + Х₄ + X₅

S - это греческая прописная буква "сигма". Х_i читается как "сумма Х_i когда i пробегает значения от 1 до 5". Х_i читается как "сумма Х_i когда i пробегает значения от 1 до n ".

Общепризнанно, что краткое обозначение S является экономным. Статистики извлекают из этою большую пользу.

Сложение чисел, умноженных, например, на 6 или возведенных в квадрат (это значит умноженных на самих себя), осуществляется, как обычно. Допустим, мы хотим умножить каждое из n чисел на 2 и сложить результаты. Искомая сумма есть

2X₁ + 2X₂+...+2X_n.

Но вы наверняка заметите, что эта сумма - то же самое, что и

2(X₁ + X₂+...+X_n).

Используя S-обозначение, мы можем заменить (X₁ + 2X₂+...+2X_n) на Х_i Результат можно записать так:

2X₁ + 2X₂+...+2X_n = 2Х_i = 2 Х_i

Этот результат возник не вследствие какого-либо магического свойства числа 2: с числами 4, 60 или 131,4 результат будет тот же. В самом деле, если с представляет собой какое-либо постоянное число (то есть число, которое не зависит от i), то

сX₁ + сX₂+...+сX_n = сХ_i = с Х_i  (Правило 1)

Если постоянное число (константу) с прибавить к каждому из n чисел, то получим

X₁ + с, X₂+ с, …, X_n + с

Сумма этих значений

(X₁ + с) + (X₂+ с) + … + (X_n +с) = ( Xi +с)

При сложении мы всегда можем перегруппировать числа в любом порядке до того, как складывать

( Xi +с) = (X₁ + X₂+...+X_n ) + (с + с + … + с)

Первая сумма в круглых скобках справа дает Х_i

Какова же вторая сумма в круглых скобках? Сколько с сложено? Ответ: n. Поэтому вторая сумма равна nс. Следовательно,

( X_i +с) = Х_i + с = Х_i + nс  (Правило 2)

Другое важное выражение - сумма квадратов n чисел

(X₁  X₁) + (X₂  X₂) + ... + (X_n X_n ) =  +  + … + ,

которое символически изображается как Х

Аналогично

 +  + … +  = Х

хотя в элементарной статистике это выражение встречается редко.

Заметим, что Х_i символически изображает единственное число: число, которое получается в результате сложения n чисел.

Х_i может быть 10, 13 или 1300. с Х_i это произведение двух чисел с и Х_i . ( Х_i) ( Х_i) является произведением числа (некоторой суммы), умноженного на самого себя. Мы также запишем это следующим образом:

( Х_i) ( Х_i) = ( Х_i)²

Если Х₁ = 3, Х₂ = 6, а Х₃ = 1, то Х_i = 10, а ( Х_i)² = 100.

Обычным в статистическом анализе является выражение

(X_i +с)² = (X₁ + с)² + (X₂+ с)² + ... + (X_n +с)²

(X_i +с)² , равное (X_i +с) (X_i +с), иначе можно записать так:

X_i  + с

Действительно, тогда

(X_i +с)² = (Х  + 2сХ_i  +с²)

Выражение в скобках можно записать n раз следующим образом:

Х  + 2сХ₁  +с²

Х  + 2сХ₂  +с²

^{…          …       …}

^{…          …       …}

Х  + 2сХ_n  +с²

Чему равна сумма первого столбца данного выражения? Она равна   Х + Х  + … + Х  = Х . Какова сумма второго столбца? Она составляет

2сХ₁ + 2сХ₂ + … + 2сХ_n = 2с (Х₁ + Х₂ + … + Х_n),

что более кратко можно записать как 2с  Х_i . Какова сумма третьего столбца? Она представляет собой с² + с² + ... + с²  = nc ² . Складывая суммы этих трех столбцов, имеем

(X_i +с)²  = Х  + 2с Х_i.+ nc ² . (Правило 3)

Хотя такие действия правильны, в них нет необходимости. Вместо этого можно "распределить" знак суммирования перед каждым членом и получить непосредственно тот же результат:

(X_i +с)² = (Х  + 2сХ_i  +с²) = Х  + 2сХ_i + с² =

= Х  + 2с Х_i.+ nc ² .