Элементы векторной алгебры.

Задача 58. Найти скалярное и векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3) .

Решение. Скалярное . 

Векторное  =  = . 

Ответ.  Скалярное 6, векторное (1,-2,1).

Замечание. Можно проверить, что (1,-2,1) перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0).

Задача 59. Найти скалярное и векторное произведение векторов:

и .

Решение. .

Для поиска векторого произведения запишем определитель.

 =  = .

Ответ.  Скалярное: 16, векторное: (-13, -1, -8).

 

Задача 60. Дано: , , , , угол между векторами  45 градусов. Найти  и .

Решение.  =  = .

Примечание. Как видим, можно вычислять скалярное произведение, даже не зная координат векторов. Здесь фактически  служат в качестве базисных векторов, и через них выражены , то есть (1,1) и (2,1) координаты  относительно базиса . Вся эта система целиком может двигаться или вращаться, но углы между векторами и их длины при этом не поменяются. Поэтому конкретных координат и нет, и они для решения задачи и не нужны.

Пункт Б.  =  =  =

 = = .

Ответ.  и .

 

Задачи 61,62,63. Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 45 град.

Задача 61. Найти .          

Задача 62. Найти | [a,b] |. 

Задача 63.  Найти  .

Решение задачи 61.

 =  = .

Мы раскрыли скобки, используя свойства скалярного произведения. Далее, так как  то объединим их, и получим .

Это можно выразить так:

и получаем .

Ответ. 29. 

Решение задачи 62.

= =  

Несмотря на то, что скобки мы раскрыли похожим образом, дальше будет существенное отличие, т.к. свойства векторного произведения совсем другие, чем скалярного. Так, , но . Кроме того, чтобы объединить  в одно слагаемое, здесь надо сначала у одной из них сменить знак.

 =  =

 = . Модуль векторного произведения и  это площадь параллелограмма, где эти векторы являются сторонами, поэтому далее можно продолжить так:

 =  =  = 50.    Ответ. 50.

Решение задачи 63.

 =  =  = =

 =  =

 = = 257. Ответ.   257. 

 

Задача 64. Найти смешанное произведение трёх векторов: 

.

Решение.  Вычислим определитель:

 =  = . Ответ. .

Задача 65. Найти косинус угла между векторами .    

Решение. , , ,

учитывая что , то .

Заметим, что , т.е. чуть меньше 1, угол близок к 0.

Ответ. .

Задача 66.  Найти косинус угла между векторами .    

Решение. , , ,

учитывая что , то .

Оценим приблизительно, какой это угол. Заметим, что если было бы  то было бы  и угол 60⁰.

В данном случае косинус чуть меньше, а значит угол чуть больше 60⁰.

Ответ. .

 

Задача 67. Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами , если , , угол между p,q равен .    

Решение.

Площадь параллелограмма - значит, надо вычислить модуль векторного произведения = =   =

 =  =  =  =

 = 92.       

Ответ 92.

 

Задача 68 и 69. Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 60⁰.

Задача 68. Найти .   

Решение.  = =  =  =  =

 =  = 1227.

Ответ. 1227.

Задача 69. Найти | [a,b] |. 

Решение.

 | [a,b] | = | |= | | = | | = | | =  =

 = .

Ответ. .

 

 

Задача 70.  Вывести формулу проекции вектора на ось .

Решение.    1) известно, что .

2) длина проекции  это катет,   гипотенуза треугольника, тогда получается, что .

Сопоставим эти 2 факта. , тогда , откуда и следует . 

 

Задача 71.  Найти проекцию вектора на линию, порождаемую вектором .

Решение. По формуле  =  =  = .

Ответ. .