Уравнения метода конечных элементов.

Задачи теории поля

Задачи теории поля описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Дифференциальное уравнение для каждого из таких физических процессов представляется квазистационарным уравнением [33] в декартовой системе координат

                                 (1.7)

с граничными условиями

                                        на                                                             

и (или)

                              (1.8)

на . Объединение  и  образует полную границу модели. Коэффициенты  и , а также величина q могут быть функциями x, y и z, но предполагаются независимыми от . Величины l_x, l_y и l_z в формуле (1.8) - направляющие косинусы вектора нормали к поверхности модели. Уравнение (1.7) применимо как к изотропным, так и к анизотропным телам. Координатные оси, однако, должны быть параллельны главным осям инерции в анизотропных областях.

 Уравнение для одномерного и двумерного случаев может быть получено из формулы (1.7) с учетом того, что  и (или) . Если на той части границы, где  не определено (на ), обе величины q и h равны нулю, равенство (1.8) сводится к следующему условию:

               .                          

Важной двумерной задачей является задача о безвихревом течении жидкости. В этом случае  и уравнение (1.7) сводится к уравнению:

                                                                                           (1.9)        

 с граничными условиями  и . Если полевая функция  задана на непроницаемых границах области (на границах, по нормали к которым не происходит течения жидкости), то уравнение (1.9) определяет линии тока при безвихревом течении жидкости. С другой стороны, если полевая функция определена на тех частях границы, по нормали к которым течет жидкость, то уравнение (1.9) описывает эквипотенциальные линии, которые ортогональны линиям тока.

Дифференциальное уравнение для ограниченного потока грунтовых вод также содержится в уравнении (1.7). В этом случае

                        ,             

а граничные условия имеют вид  и (или)

                           .

Коэффициенты  и  определяют проницаемость почвы, Q-источник (или сток) воды, а полевая функция - пьезометрический напор. Величина q соответствует просачиванию воды через водоносный слой вдоль части его границы.

Другие важные физические задачи, которые описываются уравнением (1.7), связаны с рассмотрением электростатического и магнитостатического полей.

С вариационной точки зрения решение уравнения (1.7) с граничными условиями (1.8) эквивалентно нахождению минимума функционала [33]:

. (1.10)                                                                                                                     Минимизация функционала (6.10) должна быть осуществлена на множестве узловых значений {Ф} . Введем две матрицы:

                                                                    (1.11)

и

                                                                             (1.12) Соотношение (6.10) может быть теперь записано в виде

      (1.13) 

Так как функции от   не являются непрерывными во всей области, вместо них введем в рассмотрение функции , определенные на отдельных конечных элементах. Интегралы в (6.13) разбиваются на интегралы по отдельным элементам, что дает сумму

     (1.14)

где N - общее число элементов. Последнее соотношение может быть символически записано как

           ,                                          

 где - вклад отдельного элемента в . Минимизация   требует выполнения соотношения

                          .                                 (6.15)

Учитывая соотношение (4):

                               ,                                                                                                                                                                                                                                                                             

можно вычислить величину (6.11), которая вместе с (1.4) может быть подставлена в (1.14). Запишем выражение для :   

                    , (1.16)

или

                                           ,                                     (1.17) где [B] содержит информацию o производных от функций формы. Использование формул (1.4) и (1.17) позволяет записать интегралы по элементам в (1.14) в виде

(1.18)                                                                          Величины Q, q, j_¥ и h - известные коэффициенты. Они внесены под знак интеграла, потому что могут изменяться внутри элемента. Дифференцирование (1.18) по {Ф} представляет собой простую операцию, если пользоваться правилами дифференцирования, приведенными в [33], и ее составляющие примут вид

Вклад отдельного элемента  в общую сумму в  равен

Эта совокупность интегралов может быть записана в компактной форме:

                                                                     (1.19)

где

и

Окончательная система уравнений получается после подстановки выражения (1.19) в (1.15):

                                                        (1.20)

или

где                                      ,

                                .                                   

Затем из матриц элементов (1.20) составляется глобальная матрица относительно узлов элементов расчетной сети суммированием соответствующих матриц элементов, тем самым формируется глобальная система линейных алгебраических уравнений

                                     [ U ]{Ф} = {F},                                            (1.21)       

где [U] - ленточная матрица коэффициентов ums и m = 1, ..., q; s = 1, ..., q; q – число узлов триангуляционной (расчетной)сети; {Ф} - матрица-столбец узловых значений искомой функции Ф_m  (векторного магнитного потенциала Аm), которые и подлежат определению; {F} - матрица-столбец свободных составляющих глобальной СЛАУ. Решается система уравнений (1.21) прямым или итерационным методом.