Виды движения жидкостей

Рис.1. Линия тока

 

1. Установившееся и неустановившееся движение. Установившимся называют такой вид движения жидкости, при котором скорости частиц потока, а так же плотность, температуры, давления и другие факторы не изменяются во времени в каждой фиксированной точке пространства. При неустановившимся движении, в отличие от установившегося, факторы, влияющие на движение жидкости, изменяются во времени.

2. Равномерное и неравномерное движение. Равномерным называют такой вид движения, при котором все гидравлические параметры движения – скоро- сти, форма русла, глубина – не изменяются по длине потока. Неравномерное движение характеризуется изменением по длине потока живого сечения и ско- ростей в соответствующих точках.

3. Напорное и безнапорное движение. Напорным называют движение жидко- сти, когда поток не имеет свободной поверхности. Движение, при котором по- ток не со всех сторон ограничен твердыми стенками и имеет свободную по-

верхность, называется безнапорным или движением со свободной поверхно- стью.

 

Уравнение сплошности (неразрывности) потока

Условие движения жидкости без образования разрывов (пустот) характеризуется уравнением неразрывности (сплошности), которое выражает закон сохранения массы. Выделим внутри потока элементарный параллелепипед объёмом dV = dx ×dy ×dz, ребра которого направлены параллельно осям координат (рис.2).

 

 

X

Y

 

Рис.2. К определению уравнения неразрывности потока

 

 

Пусть составляющая скорости потока вдоль оси Х в точках, лежащих на левой грани параллелепипеда площадью dS = dy×dz, равна w X. Тогда через эту грань в параллелепипед войдёт вдоль оси Х за единицу времени масса жидко- сти r wX  ×dy ×dz, а за промежуток времени dt - m Х = r× ×wX  ×dy ×dz × d t, где r - плот- ность жидкости на левой грани параллелепипеда. На противоположной (пра- вой) грани скорость и плотность могут отличаться от соответствующих вели- чин левой грани и будут равны

m + ¶w X

X     ¶x

 

× dx  и

r  + ¶r  × dx  . Тогда через правую грань параллелепипеда за

¶x

тот же интервал времени dt выйдет масса жидкости

 

m = ⎡

r × w

+ ¶(r

× w x  )

⎤

× dx

× dy× dz× d t

¶x

x+dx  ⎢      x                                     ⎥            .

⎣                            ⎦

Приращение массы жидкости в параллелепипеде вдоль оси Х составит:

 

dm =m -m =-¶(r×w x) ×dx×dy×dz×d t

x      x      x+dx             ¶x                            .

 

Если составляющие скоростей вдоль осей Y и Z равны w Y  и w Z  соответст- венно, то значения масс в элементарном объёме вдоль этих осей, по аналогии составят:

 

dm Y

¶(r × w )

;

=-     y  × dx× dy× dz× d t

¶y

 

dm Z

= -¶(r  × w z  ) × dx× dy× dz× d t .

¶z

Общее накопление массы в параллелепипеде за время dt равно сумме его приращения вдоль всех осей координат:

 

dm = ⎡¶(r  × w x  ) + ¶(r  × w y  ) + ¶(r  × w z  )⎤ × dx× dy× dz× d t

⎣

⎢ ¶x              ¶y              ¶z   ⎥⎦                                                                                                           .

 

Вместе с тем накопление массы в полностью заполненном жидкостью объёме параллелепипеда возможно только вследствие изменения ее плотности.

dm= ¶r  × dx× dy× dz× d

Поэтому      ¶t                 t  . Приравняем оба выражения d М и после пре-

образований получим:

 

¶r +(¶(r × w х ) + ¶(r  × w y  ) + ¶(r × w z  )) = 0

 

                 

¶t      ¶x              ¶y

¶z             .                   (1)

 

 

Уравнение (1) представляет собой дифференциальное уравнение нераз- рывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости. В ус- тановившемся потоке плотность не изменяется во времени ( ¶r / ¶t )=0 и уравне- ние упрощается:

 

¶(r ×W х ) + ¶(r  ×W y ) + ¶(r ×W z ) = 0

 

¶x              ¶y

¶z           .                             (2)

Для капельных жидкостей, которые практически несжимаемы, r = Const, по- этому из (2) следует:

w w

х + y

¶x ¶y

+w z

¶z

= 0.                                              (3)

 

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением неразрывности потока несжимаемой жидкости.

Проинтегрировав уравнение (2) для трубопровода переменного сечения, изображённого на рис. 3, получим r×w ×S = Const , где S – площадь сечения тру- бопровода; w – средняя скорость течения. Тогда для рис.3 имеем:

 

r 1 × S 1 × w 1 = r 2 × S 2 × w 2 = r 3 × S 3 × w 3.          (4)

 

Выражение (4) - уравнение неразрывности (сплошности) потока в интегральной форме; оно так же называется уравнением постоян- ства расхода. Для капельных жидкостей r = Const поэтому уравнение (4) принимает сле- дующий вид:

 

S 1 × w 1 =S 2 × w 2 =S 3 × w 3 =Const.           (5)

Рис.4. Трубопровод переменного сечения

 

Из уравнения (5) следует, что при уменьшении площади живого сечения при движении несжимаемой жидкости средняя скорость увеличивается, а при увеличении площади – уменьшается.

 

Дифференциальные уравнения движения Эйлера

При движении идеальной жидкости на неё действуют силы инерции, дав- ления и тяжести. Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости. Вы- делим в нём элементарный параллелепипед объёмом dV =dx ×dy ×dz (рис. 5).

Проекции на оси координат сил тяжести и давления составляют:

 

для оси Х: для оси Y: для оси Z:

- ¶p  × dx × dy × dz ;

¶x

- ¶p × dx × dy × dz ;

¶y

- (r × g + ¶p ) × dx × dy × dz .

¶z

Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, действующих на движущейся элементарный объём жидкости, равна

 

 

 

p

dx

Y

 

Рис.5. К расчету дифференциального уравнения движения Эйлера

 

 

произведению массы жидкости на её ускорение. Масса параллелепипеда равна

dm  = r  × dx  × dy  × dz  . Если жидкость движется со скоростью w, то её

ускорение равно dw / d t , а его проекции на координатные оси – dw Х / d t, dw У / d t и

dw Z / d t , где dw Х , dw У , dw Z – составляющие скоростей вдоль осей X, Y, Z. При

 

этом производные

¶w X

¶t ,

¶w Y

¶t

¶w Z

и ¶t

 

отвечают изменению w Х , w У , w Z только

во времени. В соответствии с основным принципом динамики запишем следующую систему уравнений:

 

 

 

r × dx × dy × dz ×

 

r × dx × dy × dz ×

dw X d t

dw Y d t

= - ¶p  × dx × dy

¶x

= - ¶p × dx × dy

¶y

 

× dz

× dz

r × dx × dy × dz ×

dw Z d t

= -(r × g + ¶p)×

¶z

dx×

dy×dz

или

r  × dw X

d t

r  × dw Y

d t

r  × dw Z

d t

= - ¶p

¶x

= - ¶p

¶y

= -r × g - ¶p .

¶x

 

(6)

 

Система уравнений (6) называется дифференциальными уравнения дви- жения Эйлера для установившегося потока идеальной жидкости. Производные в левой части (6) называются субстанциональными, для установившегося дви- жения они равны:

 

dw X d t

= ¶w X

¶x

× w X

+ ¶w X

¶y

× w Y

+ ¶w X

¶z

× w Z

dw Y d t

= ¶w Y

¶x

× w X

+ ¶w Y

¶y

× w Y

+ ¶w Y

¶z

× w Z

dw Z d t

= ¶w Z

¶x

× w X

+ ¶w Z

¶y

× w Y

+ ¶w Z

¶z

× w Z  .

 

При неустановившимся движении скорость жидкости изменяется не только при перемещении частиц потока из одной точки пространства в другую, но и с течением времени. Поэтому при неустановившемся движении в правую

часть субстанциональных производных

dw X  ,

d t

dw Y ,

d t

dw Z дополнительно вводят соответственно

d t

¶w X

¶t ,

¶w Y

¶t ,

¶w Z

¶t .