Причиной появления этого сообщения об ошибке может быть следующее:

· Поставленная задача может не иметь решения.

· Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число. Если решение задачи комплексное, то оно не будет найдено, если только в качестве начального приближения не взято также комплексное число.

· В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Метод поиска решения, который используется в Mathcad, не позволяет в этом случае построить следующее приближение, которое бы уменьшало невязку. Для поиска искомого решения пробуйте использовать различные начальные приближения или добавьте ограничения на переменные в виде неравенств, чтобы обойти точку локального минимума.

· В процессе поиска решения получена точка, которая не является точкой локального минимума, но из которой метод минимизации не может определить дальнейшее направление движения. Метод преодоления этой проблемы — такой же, как для точки локального минимума: измените начальное приближение или добавьте ограничения в виде неравенств, чтобы миновать нежелательную точку остановки.

· Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Если значение встроенной переменной TOL слишком мало, то Mathcad может достигнуть точки, находящейся достаточно близко к решению задачи, но уравнения и ограничения при этом не будут выполнены с точностью, задаваемой переменной TOL. Попробуйте увеличить значение TOL где–нибудь выше блока решения уравнений.

Начиная с MathCAD 2000 существует возможность одновременно найти несколько решений . Для этого система уравнений и начальные приближения должны быть переписаны в векторной форме. Каждая переменная будет вектором, содержащим столько компонент, сколько решений находится. В системе изменения коснутся преимущественно членов с перемножением переменных. Допустим, что в уравнении присутствует выражение x∙x. Если x = (x₁; x₂) – вектор, то . Нам же необходим результат поэлементного перемножения, т.е. вектор с элементами . Для этого существует специальная операция, записываемая как . Для того, чтобы ввести векторное умножение необходимо воспользоваться соответствующей кнопкой на панели работы с матрицами, как это показано на рис.2.8. В данном случае функция Find вернет вектор из двух элементов, которые мы обозначили как X и Y. Каждый из этих элементов есть вектор значений x или y для решений. Соответственно первое решение – (–1; –2); второе решение – (2; 4).

Рис.2.8 Пример одновременного поиска нескольких решений

Аналитическое решение линейных и нелинейных систем уравнений

Блок Given/Find позволяет найти не только численное, но и аналитическое решение. Обычно при этом система уравнений записывается только с использованием буквенных обозначений переменных, без конкретных чисел. Для получения аналитического решения используется оператор аналитического вычисления «→» вместо оператора числового вычисления «:=».Следует обратить внимание, что здесь при решении системы нелинейных уравнений в блоке Given/Find уже нет необходимости указывать начальные приближения, поскольку решение идет не численными, а символьными методами. Пример аналитического решения нелинейной системы представлен на рис.2.9.

Рис.2.9. Пример аналитического решения нелинейной системы

Выше были рассмотрены методы решения задач с квадратной матрицей, которые обычно и возникают при реализации численных методов. Однако, часто физические задачи приводят к системе прямоугольных матриц. Конечно, в редких случаях система с прямоугольной матрицей может оказаться совместной (если выбран соответствующий вектор b). Любопытно, что итерационный алгоритм блока Given/Find справляется с такой задачей, а алгоритм исключения, заложенный в функции lsolve — нет.