Классы эквивалентности

Определение 1. Пусть - отношение эквивалентности на множестве A . Классом эквивалентности элемента a ÎA называется множество, обозначаемое  и состоящее из всех элементов b ÎA таких, что b  a (или (a , b) Î ).

Любой элемент b класса эквивалентности  называется представителем этого класса. По определению

={ b ÎA| b  a} Í A.

Примеры. 1. Для отношения параллельности прямых плоскости класс  эквивалентности прямой a есть множество всех прямых данной плоскости, параллельных прямой a: ={bÎA| b|| a}. Это множество называется пучком параллельных прямых плоскости.

2. Для отношения сравнимости действительных чисел по модулю m (см. пример 1) класс  эквивалентности числа a Î R есть множество всех чисел b Î R, сравнимых с a по модулю m:

={b Î R| b º a (mod m)} = {b Î R| b = a + k × m , где k Î Z}.

3. Для отношения подобия треугольников каждый класс эквивалентности состоит из всех треугольников, подобных данному.

4. Отношения эквивалентности из примера 3.4 имеет три различных класса эквивалентности (см. также рис. 6):

Теорема 1. Если класс эквивалентности элемента a , то aÎ  (следовательно, каждый класс эквивалентности не пуст).

 Доказательство. Пусть  - отношение эквивалентности на множестве A. Тогда по определению 11.4. a  a для любого a ÎA. Следовательно, по определению класса эквивалентности a Î и ¹Æ. 

Теорема 2. Два класса эквивалентности  и по отношению эквивалентности  равны тогда и только тогда, когда a  b .

Доказательство. Необходимость. Пусть = . По теореме 9.1 a Î . Тогда по определению равных множеств a Î и по определению класса эквивалентности a  b.

Достаточность. Пусть a  b. Докажем, что = .

1) Если x Î , то по определению класса эквивалентности x  a. Так как по условию a  b, то в силу транзитивности x  b. Тогда по определению класса эквивалентности x Î .

2) Обратно, если xÎ , то x  b по определению класса эквивалентности. Из условия в силу симметричности, имеем b  a. Так как x  b и b  a, то по транзитивности x  a. Отсюда, по определению класса эквивалентности x Î .

Из 1) и 2) по определению равных множеств, получаем = .  

Теорема 3. Любые два класса эквивалентности  и по одному и тому же отношению эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство. Для классов  и имеет место один и только один из случаев: либо  Ç                                                                                                                                                                                                          = Æ, либо  Ç ¹ Æ.

Первый случай удовлетворяет заключению теоремы. Во втором случае существует такой элемент c, что cÎ  и cÎ . Отсюда, по определению класса эквивалентности, с a и c b . Так как отношение симметрично, то из с a следует, что a  c. В силу транзитивности из a c и c b следует a  b. Но тогда по теореме 2 = .

Упражнения: 1. Показать, что для m ÎN отношение сравнимости по модулю m на множестве Z (пример 3.2, 3.2) имеет m классов эквивалентности.