Элементарные функции алгебры логики

Инверсия

Читается НЕ Х, отрицание Х.

Возьмем, например, такое высказывание: А=<Москва-столица Франции>, тогда сложное высказывание НЕ А означает: не верно, что А, т.е. не верно, что <Москва-столица Франции>.

Конъюнкция

       Читается А И В, умножение, ˄ или &

Возьмем 2 высказывания: А=<Москва – столица РФ>, В=<дважды два - четыре> тогда сложное высказывание: А & В будет истинным, так как истинны оба этих высказывания.

Функция конъюнкции истинна тогда, когда истинны одновременно оба высказывания.

Дизъюнкция

Читается А ИЛИ В, сложение, ˅

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него.

Логическая равнозначность

Читается А ≡ В, эквивалентно, ≡, ↔,~

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания.

Импликация

Читается: если А, то В, следование, →, => 

Это сложное высказывание ложно только тогда, когда X₁ – истинно, а X₂ – ложно.

В некоторых случаях сложное и длинное высказывание можно записать более коротким и простым без нарушения истинности исходного высказывания. Это можно выполнить с использованием некоторых эквивалентных соотношений.

Дизъюнкция:

т.е. истинность высказывания не изменится, если его заменить более коротким, таким образом, это правило приведения подобных членов:

– постоянно истинное высказывание.

- (переместительный) коммуникативный закон.

- сочетательный закон.

Конъюнкция:

правило приведения подобных членов:

- постоянно ложное высказывание

- постоянно ложное высказывание

Проектирование логических схем

Электронные схемы, которые преобразовывают сигналы только двух фиксированных напряжений электрического тока (бистабильные) называются логическими элементами. 

На элементарном уровне конъюнкцию можно представить себе в виде последовательно соединенных выключателей, а дизъюнкцию - в виде параллельно соединенных выключателей.

Логические элементы имеют один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если "отсутствует" электрический сигнал, и 1, если "имеется" электрический сигнал. Простейшим логическим элементом является инвертор, выполняющий функцию отрицания. Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот. У этого элемента один вход и один выход. 

Логический элемент, выполняющий логическое сложение, называется дизъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа. 

Логический элемент, выполняющий логическое умножение, называется конъюнктор. Он, также, имеет, как минимум, два входа. 

Специальных логических элементов для импликации и эквивалентности нет, т.к. А => В можно заменить на А V В; А <=> В можно заменить на (A & B)V(A & B).

Другие логические элементы построены из этих трех простейших и выполняют более сложные логические преобразования информации. Сигнал, выработанный одним логическим элементом, можно подавать на вход другого элемента, это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов. 

Такие цепи из логических элементов называются логическими устройствами. Логические устройства, соединяясь, в свою очередь образуют функциональные схемы (их еще называют структурными или логическими схемами). По заданной функциональной схеме можно определить логическую формулу, по которой эта схема работает, и наоборот.