Способы численного представления графа

 

1. Матричный способ (с помощью матрицы смежности). Матрица смежности имеет m – строк и n – столбцов, где m – количество вершин графа.

Элементами матрицы смежности являются 0 и 1, Если вершины соединены, то ставится 1 и наоборот.

 

	1	2	3	4	5
1	0	0	1	1	0
2	0	0	0	1	1
3	1	0	0	0	1
4	1	1	0	0	0
5	0	1	1	0	0

 

Матрица смежности графа GРис.

 

Граф и его матрица смежности

Матрица смежности симметрична относительно главной диагонали (рис. 2.2.1).

2. Матрица инцидентности вершин и рёбер содержит m – строк и n – столбцов, где m – количество вершин, n – количество рёбер.

 

Рис.1

 

	a	b	c	d	e
A	0	1	1	0	0
B	1	0	0	1	1
C	0	0	1	0	1
D	0	1	0	1	0
E	1	0	0	0	0
F	0	0	0	0	0

 

Рис 2.2.2 Граф и его матрица инцидентности

 

В любом столбце матрицы инцидентности (рис. 2.2.2) лиши две единички.

Другой способ представления графа обеспечивает функция, которая выдает списки узлов, с которыми данный узел связан непосредственно. Для графа, отображенного на рис. 2.2.3, такое описание можно представить в виде структуры (таблица 2.1). В колонке s представлены номера узлов, далее в строке таблицы следует список соседних узлов. По этой причине число колонок в каждой из строк различно.

 

Таблица 2.1

Представление ориентированных граф

 

Представление ориентированных граф элементами матриц смежности и инцидентности являются 0, 1, -1. Пусть даны два ориентированных графа (рис. 2.3.1), тогда матрицы смежности и инцидентности для них будут выглядеть как в таблицe 2.3

 

Рис. 2.3.1 Ориентированные графы

 

Таблица 2.3

Матрица смежности
A	B
A B C A 0 0 1 B 0 0 0 C 0 1 0	A B C A 0 0 1 B 0 0 1 C 0 0 0
Матрица инцидентности
a b A -1 0 B 0 1 C 1 -1	a b A -1 0 B 0 -1 C 1 1

 

В матрице инцидентности для ориентированных граф ставится 0 – если вершина и ребро не инцидентны, -1 – если вершина является началом, 1 – если вершина является концом.

 

 

Виды графов и операции над ними

Элементы графов

 

Для рассмотрения видов граф и операций над ними необходимо познакомиться с такими понятиями как подграфы, маршрут, цепь, цикл.

Граф G '( V ', Е') называется подграфом графа G ( V , Е) (обозначается G ' Ì G ), если V ' Ì V и/или Е' Ì Е.

Если V ' = V , то G ' называется остовным подграфом G .

Если V ' Ì V & Е' Ì Е & ( V ' ¹ V Ú Е' ¹ Е), то граф G ' называется собственным подграфом графа G .

Подграф G '( V ' , Е') называется правильным подграфом графа G ( V ,Е), если G ' содержит все возможные ребра G :

 

" и, v Î V ' (и, v ) Î Е Þ (и, v ) Î Е'.

 

Правильный подграф G '( V ' , Е') графа G ( V , Е) определяется подмножеством вер шин V '.

Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и ребер в которой любые два соседних элемента инцидентны.

 

v₀, e₁, v₁, e₂, v₂,…,e_k, v_k,

 

Это определение подходит также для псевдо-, мульти- и орграфов. Для «обычного» графа достаточно указать только последовательность вершин или только последовательность ребер.

Если v₀ = v_k, то маршрут замкнут, иначе открыт. Если все ребра различны, то маршрут называется цепью. Если все вершины (а значит, и ребра) различны, то маршрут называется простой цепью. В цепи v₀, e₁, v₁, e₂, v₂,…,e_k, v_k,

 вершины v₀ и v_k, называются концами цепи. Говорят, что цепь с концами и и v соединяет вершины и и v . Цепь, соединяющая вершины и и v , обозначается (и, v ). Очевидно, что если есть цепь, соединяющая вершины и и v , то есть и простая цепь, соединяющая эти вершины.

Замкнутая цепь называется циклом; замкнутая простая цепь называется простым циклом. Число циклов в графе G обозначается z ( G ). Граф без циклов называется ациклическим.

Элементы графа – любое чередование вершин и рёбер графа, в котором каждому ребру предшествует смежная ей вершина, называющаяся контуром графа.

 

Рис 3.1 Маршруты, цепи, циклы

 

По рисунку 3.1 можно определить следующие утверждения:

1. A, C, A, D – маршрут, но не цепь;

2. A, C, E, B, C, D – цепь, но не простая цепь;

3. A, D, C, B, E, - простая цепь;

4. A, C, E, B, C, D, A – цикл, но не простой цикл;

5. A, C, D – простой цикл;

Цепь в ориентированном графе называется путём, а цикл – контуром.

 

Изоморфизм графов

 

Говорят, что два графа G ₁ ( V ₁ , Е₁) и G ₂ ( V ₂ , Е₂) изоморфны (обозначается G ₁ ~ G ₂), если существует биекция h : V ₁ ® V ₂ , сохраняющая смежность:

e₁ = ( u , v ) Î E₁ Þ e₂ = ( h( u ), h( v ) ) Î E₂,

e₂ = ( u , v ) Î E₂ Þ e₁ = ( h^-1( u ), h^-1( v ) ) Î E₁

 

Изоморфизм графов есть отношение эквивалентности. Действительно, изомор физм обладает всеми необходимыми свойствами:

1. рефлексивность: G ~ G, где требуемая биекция суть тождественная функция;

2. симметричность: если G₁ ~ G ₂ с биекцией h, то G ₂ ~ G ₁ с биекцией h^-1;

3. транзитивность: если G₁ ~ G ₂ с биекцией h, и G ₂ ~ G ₃ с биекцией g, тоG ₁ ~ G ₃ с биекцией g o h.

Графы рассматриваются с точностью до изоморфизма, то есть рассматриваются классы эквивалентности по отношению изоморфизма.

Приведём примеры изоморфных графов рис. 3.2

 

 

Рис. 3.2 Диаграммы изоморфных граф

 

Числовая характеристика, одинаковая для всех изоморфных графов, называется инвариантом графа. Так, р( G ) и д( G ) — инварианты графа С.

Не известно никакого набора инвариантов, определяющих граф с точностью до изоморфизма.