Многокритериальные оптимизационные модели

С целью иллюстрации практического использования методов многокритериальной оптимизации приведем разработанную в  НИЭИ Министерства экономики Республики Беларусь многокритериальную оптимизационную модель оценки отраслевой структуры валового выпуска. Теоретическая база модели базируется  на теории межотраслевого баланса, поэтому в модель введены ограничения на промежуточное потребление, факторы производства, объем потребления топливно-энергетических ресурсов (ТЭР), внешнеторговое сальдо, структурные сдвиги в экономике, темпы изменения конечного использования продукции отраслей и выбросы в атмосферный воздух загрязняющих веществ, отходящих от стационарных источников. Критерии в двухкритериальной модели – максимизация ВВП и минимизация потребления ТЭР, а в трехкритериальной – максимизация ВВП, минимизация потребления ТЭР и максимизация внешнеторгового сальдо.

В формальном представлении двухкритериальная модель имеет следующий вид:

Максимум ВВП

,                                                                                                  (9.1)

Минимум потребления ТЭР

                                                                                    (9.2)

При ограничениях                                                                                                         

,                                                                                (9.3)

,                                                                            (9.4)

,                                                              (9.5)

, ,                                                 (9.6)

,                                                                                     (9.7)

,                                                                                 (9.8)

,                                                            (9.9)

,     (9.10)

,                                                                                                            (9.11)

где n – число отраслей; – матрица коэффициентов прямых затрат; ,  – соответственно прямые затраты электро-, теплоэнергии и продукции топливной промышленности на производство единицы валовой продукции j-й отрасли; e – верхняя граница промежуточного потребления в Республике Беларусь в анализируемом периоде;  – нижняя граница внешнеторгового сальдо Республики Беларусь в анализируемом периоде; E – единичная матрица порядка ; – вектор валовых выпусков отраслей (верхний индекс T означает транспонирование); – вектор конечного использования продукции отраслей, определяющий отраслевую структуру ВВП со стороны спроса;  – вектор значений конечного использования продукции отраслей за базовый период;  – вектор экспорта продукции отраслей;  – вектор импорта продукции отраслей;  – вектор конечного потребления и валового накопления продукции отраслей;  – средний темп изменения конечного использования по отраслям;  – множество отраслей, для которых значения конечного использования неотрицательны (неположительны)[3] в анализируемом периоде ( , ,  – множество всех отраслей);  – матрица коэффициентов прямых затрат факторов производства (m – количество учитываемых факторов производства);  – вектор объемов факторов производства;  – вектор коэффициентов выбросов в атмосферный воздух загрязняющих веществ, отходящих от стационарных источников загрязнения, q_j – количество загрязняющих веществ,вносимых в атмосферный воздух от стационарных источников при производстве единицы продукции j-й отрасли; r – верхняя граница выбросов в атмосферный воздух загрязняющих веществ, отходящих от стационарных источников загрязнения; ,  – диагональные матрицы соответственно коэффициентов экспорта, импорта ( , , при  и  при ); – диагональная матрица темпов прироста выпусков отраслей, в которой  при , а при ,  – темп прироста выпуска -й отрасли, который определяется следующим образом: . Здесь  – вектор валовых выпусков отраслей за базовый период, а  – вектор валовых выпусков отраслей в сопоставимых ценах за период, предшествующий базовому.

В трехкритериальной модели нахождения отраслевой структуры белорусской экономики критериями являются следующие:

,

,

,

а ограничениями – система уравнений и неравенств (9.1)–(9.11).

При реализации многокритериальных моделей использовался паретовский принцип оптимальности. Множество, состоящее из всех оптимальных по Парето векторных оценок в реальных задачах для предложенных двух- и трехкритериальных моделей является бесконечным, причем различные альтернативы, соответствующие входящим в него векторным оценкам, как следует уже из определения, вовсе не эквивалентны с точки зрения рассматриваемых функций цели. Поэтому выбор одной из них требует компромисса, достигаемого на основе учета не включенных в исходную задачу факторов.

При реализации трехкритериальной модели использовалась процедура построения двумерных сечений множества Парето исходя из фиксированных значений одного из трех критериев, предложенная в [8]. В этом случае двумерное сечение представляет собой кривую линию в декартовой прямоугольной системе координат. Данная процедура позволяет провести более полный экономический анализ различных вариантов оптимальных по Парето отраслевых структур ВВП и показать, как влияет установление на определенном уровне значения одного критерия на оптимальные по Парето значения других критериев.