Модели оптимизации инвестиционного портфеля

Модели, рассматриваемые в данном разделе, строятся для совершенного рынка, который должен удовлетворять следующим условиям:

1. Инвесторы оценивают все активы только по двум параметрам - ожидаемой доходности и риску.

2. При выборе между двумя портфелями инвесторы отдают предпочтение тому, который при прочих равных условиях имеет наименьший риск.

3. При выборе между двумя портфелями инвесторы отдают предпочтение тому, который при прочих равных условиях имеет наибольшую ожидаемую доходность.

4. Инвесторы имеют свободный доступ к информации о всех финансовых активах.

5. Отсутствуют операционные издержки и налоги.

6. Нет ограничений на короткие продажи.

7. Существует безрисковая ставка процента, по которой инвесторы могут как инвестировать, так и брать кредит.

Хотя эти предложения кажутся достаточно жесткими, развитые финансовые рынки, на которых работают крупные инвестиционные компании, им практически удовлетворяют.

Модели Марковица определения структуры эффективных портфелей.

Для того, чтобы сформулировать модели, введем необходимые определения и обозначения. Ценная бумага характеризуется доходностью за рассматриваемый период, которая определяется следующим образом:

.

Стоимость рисковой ценной бумаги в конце периода не определена, тогда не определена и ее доходность за период, поэтому доходность рисковой ценной бумаги считают случайной величиной. Конкретное значение доходности является реализацией этой случайной величины. Доходность обычно измеряется в процентах.

Обозначим через R_i случайную величину, описывающую доходность ценной бумаги вида i, через  обозначим математическое ожидание случайной величины R_i, т.е. . По определению, дисперсия или вариация доходности ценной бумаги вида i будет равна

,

а среднеквадратическое отклонение доходности от ожидаемой

.

Среднеквадратическое отклонение доходности i-ой ценной бумаги от математического ожидания считают мерой ее риска. Действительно, чем меньше доходность отклоняется от ожидаемого значения, тем меньше неопределенность, тем меньше риск и тем меньше величина , и наоборот. Среднеквадратическое отклонение доходности ценной бумаги от ожидаемой называют ее волатильностью и измеряют в процентах. Часто, чтобы не выполнять операцию извлечения квадратного корня, в качестве оценки риска ценной бумаги используют ее вариацию. При этом единицы измерения не указываются.

Вывод. Ценные бумаги имеют две характеристики: ожидаемую доходность и риск, выражаемый вариацией доходности или среднеквадратическим отклонением доходности от ожидаемой.

Под портфелем ценных бумаг инвестора понимают все имеющиеся у него ценные бумаги. У портфеля так же как и у ценной бумаги рассматривают две характеристики: ожидаемую доходность и риск. Обозначим через , долю капитала, которую инвестор вкладывает в ценную бумагу вида i, n – число видов ценных бумаг в портфеле инвестора, через R_p обозначим доходность портфеля, а через  – ожидаемую доходность. Можно показать, что доходность портфеля и ожидаемая доходность рассчитываются по формулам

,                                                      (8.61)

.                                                      (8.62)

На риск портфеля существенное влияние оказывает степень зависимости доходностей ценных бумаг друг от друга. Для оценки этой зависимости используется такой показатель как ковариация. Ковариацией двух ценных бумаг вида i и j называют величину V_ij, где

.

Если , то доходности ценных бумаг i-го и j-го видов под воздействием одних и тех же факторов изменяются в одном направлении, т.е. зависимость между доходностями этих ценных бумаг прямая.

Если , то зависимость между доходностями ценных бумаг вида i и j обратная. Если , то доходности этих ценных бумаг являются независимыми случайными величинами.

Риск портфеля ценных бумаг, как и в случае с отдельными ценными бумагами, оценивается вариацией его доходности или среднеквадратическим отклонением доходности от ожидаемой. Обозначим вариацию доходности портфеля через V_p, а среднеквадратическое отклонение через s _p, тогда

.

Можно показать  [ ], что

,                            (8.63)

.                         (8.64)

Вывод. Портфель ценных бумаг имеет две характеристики: ожидаемую доходность (см. формулу (8.62)) и риск (см. формулу (8.63) и (8.64)).

Так как рассматривается совершенный рынок, то действующие на нем инвесторы желают сформировать свои портфели с возможно большей ожидаемой доходностью и возможно меньшим риском. Такая задача имеет два критерия и является достаточно сложной. Поэтому инвесторы формируют эффективные портфели.

Эффективным портфелем называют портфель, который при фиксированном, заданном инвестором уровне доходности, имеет минимальный риск, или при фиксированном, заданном инвестором уровне риска, имеет максимальную ожидаемую доходность.

Из определения эффективного портфеля следует, что для того, чтобы определить структуру эффективного портфеля, т.е. доли капитала , вкладываемые инвестором в ценные бумаги, необходимо решить одну из следующих задач:

                               (8.65)

 

                                     (8.66)

В задаче (8.65) через  обозначен уровень ожидаемой доходности, выбираемой инвестором, а через  - соответственно уровень риска. Задачи (8.65) и (8.66) являются задачами квадратичного программирования и легко решаются с помощью программы «Поиск решения» электронной таблицы Excel [ ].

Дадим экономическую интерпретацию решения задач (8.65), (8.66). Пусть  - оптимальный план этих задач. Если , то это значит, что инвестору необходимо  долю своего капитала вложить в ценные бумаги i-го вида. Если , то инвестору следует взять в долг с обязательством последующего возврата ценные бумаги i-го вида на сумму, равную  долей своего капитала и тут же их реализовать. Полученную сумму инвестор должен добавить к своему капиталу. Далее сумма  долей капитала инвестора инвестируется в ценные бумаги вида , в пропорциях . Таким образом, эффективный портфель инвестора не содержит ценную бумагу вида i. Через некоторое время инвестор выкупает ценные бумаги вида i и возвращает их владельцу. Такая финансовая операция называется короткой продажей (short sale). Она носит спекулятивный характер, и поэтому может быть запрещена. Тогда в задаче (8.65) и (8.66) вводится дополнительное условие – условие неотрицательности переменных, .

Графическое изображение множества всех возможных и эффективных портфелей представлено на рисунке 8.15.

 

                        

 

 

 

                               

Рис.8.15. Множество всех возможных и эффективных портфелей.

 

Множество всех возможных портфелей представляет закрашенную область, а множество эффективных портфелей - отрезок DE кривой FG. Действительно, если сравнить портфели А и С, то они имеют одинаковый уровень риска, при этом портфель С имеет максимально возможную доходность для данного уровня риска. Портфель А и портфель В имеют одинаковый уровень ожидаемой доходности, но для этого уровня ожидаемой доходности портфель В имеет минимальный уровень риска. Отрезок кривой DE называют эффективной границей. Рациональный инвестор всегда будет выбирать портфель, лежащий на эффективной границе. Выбор он будет осуществлять на основании приемлемого для него соотношения риска и доходности.

Замечание. Для вычисления математического ожидания, вариации, ковариаций случайных величин необходимо знать их законы распределения вероятностей. Определение закона распределения вероятности доходности ценной бумаги является сложной практической задачей. Поэтому вместо характеристик ценных бумаг используются их статистические оценки, основанные на исторических данных. Обозначим через R_it – доходность ценной бумаги вида i, в периоде t, ; Т – число периодов наблюдения. Тогда статистические оценки ожидаемой доходности и вариации будут иметь вид:

                                                  (8.67)

                                              (8.68)

Статистическая оценка ковариации доходностей i-ой и j-ой ценной бумаги запишется следующим образом

                                       (8.69)

Пример 8.14. В таблице 8.25 представлены данные в процентах о доходностях акций трех компаний в каждом из трех месяцев. Оценить ожидаемые доходности и риски этих акций. Какая из акций наиболее привлекательна для инвестора? Записать модели Марковица для выбора эффективного портфеля, составленного из этих акций.

Таблица 8.25. Доходности акций компаний, %

Доходность Месяц	R1	R2	R3
1	17	18	20
2	20	22	19
3	23	23	15

 

Решение. Используя формулы (8.67) и (8.68) рассчитаем ожидаемые доходности акций и их риски, выраженные вариацией доходности:

Наиболее привлекательной для инвестора является вторая акция, так как она имеет наибольшую ожидаемую доходность и риск, меньший, чем у первой акции, и равный риску третьей акции. Чтобы ранжировать акции по степени привлекательности для инвестора, удобно для каждой акции рассчитывать отношение ожидаемой доходности к риску – , которое показывает сколько единиц доходности приходится на единицу риска. В нашем примере

Наибольшее количество единиц доходности на единицу риска у акции второй компании; наименьшее количество единиц доходности на единицу риска у первой акции.

Чтобы записать модели Марковица, преобразуем формулы (8.62) и (8.63) для n=3:

                     (8.70)

(8.71)

Ожидаемые доходности и вариации акций уже рассчитаны. Используя формулу (8.69) рассчитаем ковариации V₁₂, V₁₃, V₂₃:

;

;

.

Ковариация , зависимость между доходностями акций первой и второй компаний – прямая. Как видно из таблицы 9.3.1, доходности акций этих компаний в наблюдаемые месяцы растут. Ковариации , зависимость между доходностями акций первой и третьей компаний и второй и третьей – обратная. Из таблицы 8.25 так же видно, что в наблюдаемые месяцы доходность акций первой и второй компаний растет, а третьей – падает.

Подставим в формулы (8.70) и (8.71) рассчитанные в примере значения ожидаемых доходностей, вариаций и ковариаций акций:

;

.

Выберем для первой модели уровень ожидаемой доходности 20,5, а для второй – уровень риска 2.

Модели Марковица будут иметь вид:

Решим обе задачи, используя программу «Поиск решения» пакета Excel. В задаче минимизации риска получим: . Это значит, что для того, чтобы сформировать портфель с ожидаемой доходностью 20,5 % и минимальным риском, инвестору следует вложить 83 % своего капитала в акции второй компании и 17 % своего капитала в акции третьей компании. Акций первой компании в портфеле не будет. Минимальный риск при этом составит V_p=2,353.

В задаче на максимизацию ожидаемой доходности получим: . Это значит, чтобы сформировать портфель с риском, равным 2, и максимальной ожидаемой доходностью, инвестору следует вложить в акции второй компании 80 % своего капитала, в акции третьей компании 20 % своего капитала. При этом максимальная ожидаемая доходность составит 20,4 %.

 

Решая задачи Марковица для различных уровней ожидаемой доходности или риска, инвестор может выбрать портфель с наиболее приемлемым для него соотношением доходность-риск.

 

Влияние диверсификации на риск портфеля. Формулу (8.63), описывающую риск портфеля, можно представить в виде

                                 (8.72)

Из этой формы записи видно, что риск портфеля состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое  - риск, связанный только с вариациями доходностей отдельных активов. Этот риск называется несистематическим или уникальным. Он присущ конкретным активам или предприятиям. Примерами несистематических рисков могут быть служить падение спроса или цен на продукцию данного предприятия, рост конкуренции в данной отрасли, неэффективный менеджмент и т.д. Второе слагаемое  определяет риск, связанный с взаимными изменениями доходностей активов, включенных в портфель. Этот риск обусловлен факторами, влияющими на весь рынок в целом и затрагивающими все хозяйствующие субъекты.

Поэтому его называют систематическим или рыночным. Причинами этого риска могут быть кризис в экономике, инфляция, изменение процентных ставок и другие.

Можно показать, что несистематический риск сводится к нулю путем диверсификации (т.е. путем увеличения числа видов ценных бумаг n в портфеле). Систематический, рыночный риск диверсификация изменить не может. Зависимость риска портфеля  от числа видов ценных бумаг в портфеле n можно представить графически (рис. 8.16).

                 

 

 

Рисунок 8.16. Влияние диверсификации на риск портфеля.

 

Добавление безрисковых активов. Модель Марковица–Тобина. Эффективные портфели, полученные в результате решения задач Марковица, состоят только из рисковых активов. Американский экономист Дж. Тобин предложил учитывать и безрисковые активы – государственные обязательства с фиксированным доходом, доказав, что при этом можно улучшить характеристики портфеля.

Обозначим доходность безрисковых ценных бумаг через R_F, а через x₀ – долю вложенного в них капитала инвестора. Так как , то легко показать, что риск комбинированного портфеля будет описываться той же формулой, что и риск портфеля, составленного только из рисковых ценных бумаг – формулой (8.63) или (8.64). Ожидаемая доходность комбинированного портфеля будет иметь вид

.

Тогда задача минимизации риска комбинированного портфеля при заданной ожидаемой доходности запишется следующим образом

                                          (8.73)

Задача (8.73) называется моделью Марковица–Тобина. Она так же легко решается с помощью программы «Поиск решения» ППП Excel. Покажем графически, что комбинация безрисковых ценных бумаг с эффективным рисковым портфелем позволяет улучшить его характеристики. На плоскости с осями координат  и s _p построим точку, характеризующую безрисковые ценные бумаги. Это будет точка с координатами (R_F, 0). Нарисуем эффективную границу для рисковых портфелей и выберем на ней любые эффективные портфели А и В. Портфель В₁ соответствует комбинации эффективного портфеля В с безрисковым активом.

Из рисунка 9.3.3 видно, что ожидаемая доходность комбинированного портфеля В₁ такая же, как и у портфеля А, а риск значительно меньше: . Очевидно, что наилучшее соотношение между приростом доходности и возрастанием риска обеспечит комбинация безрискового актива с эффективным портфелем М. Точка М – это точка касания прямой, проведенной из точки R_F к эффективной границе. Так как рассматривается совершенный рынок, то все инвесторы рациональны и владеют одинаковой информацией о всех ценных бумагах. Каждый из них будет стремиться формировать эффективный портфель М и комбинировать с ним безрисковые активы. Под воздействием спроса и предложения структура рынка рисковых ценных бумаг становится такой же, как у портфеля М. Поэтому портфель М называют рыночным портфелем. Портфели, представляющие комбинацию безрискового актива и рыночного портфеля М лежат на прямой R_FL. Эта прямая линия называется линией рынка капитала (Capital Market Line – CML). Из рисунка 8.17 видно, что все портфели, попадающие на CML предпочтительнее, чем портфели попадающие на кривую AD (эффективную границу Марковица). Поэтому при наличии безрискового актива новой эффективной границей становится прямая CML.

 

 

Рисунок 8.17. Добавление безрисковых активов.

Выведем уравнение прямой CML. Пусть  и s _р – ожидаемая доходность и риск комбинированного портфеля,  и s _М – ожидаемая доходность и риск портфеля М; х₀ – доля капитала инвестора, вкладываемая в безрисковые ценные бумаги, тогда (1- х₀) доля капитала, вкладываемая в рисковый портфель М. Легко показать, что

,                             (8.74)

.                                  (8.75)

Выразим х₀ из уравнения (8.75), подставим в уравнение (8.74) и проведем несложные преобразования, получим

                          (8.76)

Уравнение (8.76) и есть уравнение CML. Так как на совершенном рынке есть возможность как инвестировать, так и брать кредиты по безрисковой ставке процента, то инвесторы могут использовать 4 стратегии:

1) инвестировать весь капитал в безрисковые ценные бумаги (х₀=1), такие портфели соответствуют точке R_F на прямой CML;

2) инвестировать долю капитала х₀ в безрисковые ценные бумаги и (1-х₀) в рисковый рыночный портфель М (0<x₀<1), такие портфели попадают на отрезок R_FM прямой CML и называются ссудными (lending portfolios);

3) инвестировать весь капитал в рыночный рисковый портфель М (х₀=0), такие портфели соответствуют точке М;

4) заимствовать под безрисковую ставку R_F средства, равные х₀ доли своего капитала (х₀<0), затем сумму (1- х₀) долей капитала инвестировать в рыночный рисковый портфель М, такие портфели соответствуют точкам луча ML и называются заемными (borrowing portfolios);

Долю х₀ инвесторы выбирают в зависимость от своей склонности к риску.

Модель ценообразования на рынке капиталов (САРМ).    В уравнении (8.76) величина  характеризует превышение доходности рыночного портфеля над безрисковой ставкой и называется рыночной премией за риск, тогда дробь  показывает величину рыночной премии за риск, приходящейся на единицу рыночного риска.

Таким образом, уравнение (8.76) связывает доходность произвольного портфеля с рыночной премией за риск. Можно показать, что для отдельной ценной бумаги вида i эта зависимость будет иметь вид:

,           (8.77)  

где  – ковариация доходности i-ой ценной бумаги с доходностью рыночного портфеля, а  – риск рыночного портфеля.

Обозначим через

,                                            (8.78)

тогда уравнение (8.77) примет вид

,                                 (8.79)

или

.                                 (8.80)

Величину b _i называют коэффициентом b ценной бумаги вида i. Уравнения (8.79) и (8.80) представляют собой две формы записи модели ценообразования на рынке капиталов (Capital Asset Pricing Model – CAMP). Уравнение (8.79) позволяет оценить ожидаемую доходность любой ценной бумаги, зная рыночную премию за риск и ее коэффициент b. Уравнение (8.80) дает возможность сформулировать модель САРМ: премия за риск i-ой ценной бумаги пропорциональна рыночной премии за риск, а коэффициентом пропорциональности служит ее коэффициент b.

В осях координат , b, где  – ожидаемая доходность ценных бумаг, а b – их коэффициенты, построим точки, соответствующие безрисковым ценным бумагам (R_F, 0) и рыночному портфелю ( , 1). Линия, соединяющая эти точки, называется линией рынка ценных бумаг – Security Market Line (SML). Согласно САРМ точки, соответствующие всем ценным бумагам, должны лежать на этой линии. Зная коэффициент b _i i-ой ценной бумаги, можно найти ее ожидаемую доходность.

               

 

Рисунок 8.18. Линия рынка ценных бумаг.

 

Коэффициент b является мерой систематического риска ценной бумаги и показывает чувствительность ее доходности к изменениям на рынке. Из формулы (8.78) следует, что коэффициент b _М рыночного портфеля равен 1. Действительно

.

Если для ценной бумаги i-го вида , например , то при изменении доходности рыночного портфеля на 1 %, доходность i-ой ценной бумаги изменяется на 1,5 %. Т.о. ценная бумага вида i более чувствительна к изменениям, чем в среднем по рынку. Ее следует включать в портфель, если ожидается рост рынка. Она обеспечит портфелю больший прирост доходности, чем в среднем по рынку.

Если для ценной бумаги i-го вида , например , то при изменении доходности рыночного портфеля на 1 %, доходность i-ой ценой бумаги изменяется на 0,5 %. Т.е. ценная бумага i-го вида менее чувствительна к изменениям, чем в среднем по рынку. Такие ценные бумаги рекомендуется включать в портфель, если ожидается падение рынка. Она обеспечит портфелю меньшее падение доходности, чем в среднем по рынку. Коэффициент b _р самого портфеля рассчитывается по формуле

                                     (8.81)

Модель САРМ получила широкое распространение в финансовом и инвестиционном менеджменте. Ее автор У.Шарп был удостоен Нобелевской премии в области экономики. Введенный им коэффициент b является популярной характеристикой акций, его вычислением и публикацией занимаются специальные агентства. При расчете коэффициентов b на практике в качестве рыночного портфеля используют индексный портфель, т.е. портфель, составленный из ценных бумаг, формирующих тот или иной индекс, например S&P500, NIKKEY, PTC.

В таблице 8.26 представлены коэффициенты b акций крупнейших Российских компаний, рассчитанных на базе индекса РТС.

Таблица 8.26. Коэффициенты бета акций Российских компаний на 04.2009 г.

Компания	Коэффициент бета	Компания	Коэффициент бета
ГМК НфНик	1,3159	Лукойл	1,1623
Сбербанк	1,5792	ОАО «АВТОВАЗ»	0,0405
ВТБ АО	0,8749	Аэрофлот	0,0555
Роснефть	1,3031	Газпромнефтъ	0,2824

 

Источник: [Лукасевич, Инвестиции, стр. 120, 121]

 

Ожидаемую доходность i-ой ценной бумаги , рассчитанную на основе модели САРМ (8.79) называют равновесной доходностью. На реальном рынке фактическая средняя доходность  может отличаться от равновесной. Разность между фактической средней и равновесной доходностями называют коэффициентом альфа:

,                                       (8.82)

или

.                               (8.83)

Величина a _i может быть как положительной, так и отрицательной, что характеризует ценную бумагу вида i как недооцененную или переоцененную рынком соответственно.

Если  (фактическая средняя доходность больше равновесной), то ценная бумага недооценена рынком и представляет привлекательный объект для покупки.

Если  (фактическая доходность меньше ожидаемой), то ценная бумага переоценена рынком, ее не следует покупать, а если она принадлежит инвестору, то ее целесообразно продать.

Пример 8.15. Для акций из примера 8.14 рассчитать коэффициенты b и a, если доходность рыночного портфеля R_M в рассматриваемые месяцы составила соответственно 17, 16, 18 процентов, а безрисковая ставка процента R_F – 10 процентов.

Решение. Найдем ожидаемую доходность и риск рыночного портфеля. Для этого воспользуемся формулами (8.67), (8.68).

.

Коэффициенты b найдем по формуле (8.78). Рассчитаем сначала ковариации доходностей рассматриваемых акций с доходностью рыночного портфеля . Согласно формуле (8.69):

;

;

;

тогда

; ; .

Таким образом, на основании значений коэффициентов b можно сделать следующие выводы: акции первой компании имеют риск выше рыночного, они более чувствительны к изменениям на рынке ценных бумаг. Акции второй компании имеют риск ниже рыночного, они менее чувствительны к изменениям на рынке. Акции третьей компании также являются высокорисковыми, причем их доходность изменяется в противоположном направлении к изменению доходности рыночного портфеля.

Для того, чтобы рассчитать коэффициенты альфа, необходимо знать равновесную и фактическую ожидаемые доходности. Фактическая (реальная) ожидаемая доходность рассчитана на основе фактических (исторических данных), приведенных в таблице 8.25. Таким образом ; ; . Равновесные ожидаемые доходности найдем используя модель САРМ (8.79):

.

Значения коэффициентов альфа позволяют сделать следующие выводы: акция первой компании переоценена рынком, ее не следует включать в портфель. Акции второй и третьей компаний рынком недооценены, их в портфель включить можно.

Вопросы для контроля знаний

1. Что такое оптимизационная модель? Чем она отличается от задачи линейного программирования?

2. Дайте характеристику этапов построения оптимизационной модели.

3. С какой целью проводится анализ оптимизационной модели на устойчивость?

4. Какие пакеты прикладных программ используют для компьютерного решения оптимизационных моделей?

5. Сформулируйте основную теорему линейного программирования и принципиальную схему решения задачи линейного программирования, вытекающую из этой теоремы.

6. Сформулируйте теоремы двойственности и их экономическое содержание.

7. Какие прикладные аспекты теорем двойственности?

8. Перечислите свойства двойственных оценок и их использование при экономическом анализе решения задачи линейного программирования.

9. Как используются интервалы устойчивости?

10. Какова постановка транспортной задачи по критерию стоимости и ее экономико-математическая модель.

11. Сформулируйте условие разрешимости транспортной задачи.

12. Сформулируйте постановку и математическую модель полностью целочисленной задачи линейного программирования.

13. Сформулируйте постановку задачи нелинейного программирования.

14. Дайте понятие выпуклой и вогнутой функции, понятие о локальном и глобальном экстремумах.

15. Дайте понятие о динамическом программировании и методе динамического программирования.

16. Сформулируйте принцип оптимальности Беллмана.

17. Приведите примеры задач производственной логистики, которые могут быть решены на основе оптимизационных моделей.

18. Сформулируйте задачу оптимизации производственной программы предприятия и приведите базовую модель для ее решения.

19. За счет каких факторов обеспечивается достижение целевой функции в задаче оптимизации производственной программы?

20. Как изменяются ограничения базовой модели оптимизации производственной программы, если устанавливается целевая функция на минимум затрат?

21. Как изменяется базовая модель оптимизации производственной программы, если известны средний спрос на продукцию и его среднеквадратические отклонения?

22. Сформулируйте задачу на максимум загрузки промышленного оборудования при условии незаменяемости его видов и приведите базовую модель для ее решения.

23. Что изменяется в базовой модели на максимум загрузки промышленного оборудования при условии заменяемости видов оборудования?

24. Что может выступать в качестве целевой функции в задаче оптимального раскроя промышленных материалов?

25. Приведите примеры технологической задачи на оптимальное составление смесей в промышленности, в сельском хозяйстве.

26. Сформулируйте задачи календарного планирования, которые могут быть решены на основе оптимизационных моделей; приведите вид моделей.

27. Приведите примеры типичных задач логистической системы, которые могут быть решены на основе оптимизационных моделей.

28. Приведите модели решения задач рациональной организации движения материальных потоков по схемам «поставщики – потребители», «поставщики – склады – потребители».

29. Чем отличается математическая форма модели задачи отыскания маршрута движения автомобиля от транспортной задачи?

30. Сформулируйте задачу оптимизации загрузки производственных мощностей и приведите базовую модель для ее решения. За счет каких факторов в модели обеспечивается достижение целевой функции?

31. Чем отличается математическая форма модели оптимизации загрузки производственных мощностей от транспортной задачи?

   32. Какие характеристики имеют ценные бумаги и портфель ценных бумаг?

   33. Почему с помощью вариации оценивается риск ценной бумаги, портфеля ценных бумаг?

    34. Какова структура риска портфеля?

      35. Как влияет диверсификация на составляющие риска портфеля?

    36. Какие факторы определяют несистематический риск портфеля и какие систематический?

    37. Что такое эффективный портфель?

     38. Как добавление безрисковых активов влияет на характеристики портфеля?

    39. В чем суть модели Марковица-Тобина?

40. Что такое эффективная граница?

41. Что представляет собой эффективная граница в случае только рисковых активов и что в случае добавления в портфель безрисковых активов?

42. Как рыночная премия за риск связана с доходностью ценной бумаги?

43. Что такое коэффициент бета ценной бумаги?

44. Как определить, ценная бумага переоценена или недооценена рынком?