Отражение и прохождение плоских волн на границе двух сред при наклонном падении

Обозначим плотности и медленности звука в, первой и второй среде соответственно через r, r' и S, S' и рассмотрим падение на границу волны вида

.

Если отражение правильное, то, как уже было сказано, отраженную и прошедшую волны можно записать в виде

,

.

Например, для падающей гармонической волны

отраженная и прошедшая волны равны

,

.

В написанных выше формулах величины  и  — неизвестные пока коэффициенты отражения и прохождения, которые должны быть определены из граничных условий.

Граничные условия — это равенство давлений и нормальных скоростей частиц по обе стороны границы раздела сред. На касательные компоненты скорости никаких ограничений в идеальных средах не накладывается: в решении, которое мы найдем, эти компоненты окажутся различными. Получающийся разрыв касательной компоненты скорости частиц на границе совместим с принятым предположением об идеальности среды, т. е. об отсутствии вязкости. Для реальных жидкостей разрыв сглаживают вязкие волны. Обычно они мало влияют на картину отражения и прохождения; поэтому мы пока пренебрежем ими, считая жидкость идеальной.

Так как на границе аргументы функции ρ одинаковы для всех трех волн, то граничные условия можно записать для волны любой формы в виде

, . (9)

Первое уравнение совпадает с соответственным уравнением для нормального падения (первое уравнение (5)). Это объясняется тем, что давление — скаляр, и поэтому условие, на него налагаемое, не связано с направлением распространения волн. Второе уравнение иное, чем для нормального падения: в него входят нормальные компоненты векторов скорости частиц, которые зависят не только от величины, но и от направления этих векторов.

Решая уравнения (9) относительно коэффициентов отражения и прохождения, найдем

,  (10)

или, через волновое сопротивления

, . (11)

В отличие от случая нормального падения, коэффициенты оказались зависящими не только от свойств самих сред, но и от угла скольжения падающей волны. В частности, при одинаковых волновых сопротивлениях обеих сред, но неравных плотностях и скоростях звука в отдельности, коэффициент отражения не равен нулю.

Пользуясь принятыми ранее обозначениями, можем переписать формулы (10) в таком виде:

, . (12)

Из этих формул можно исключить угол скольжения преломленной волны:

, . (13)

Наконец, деля числитель и знаменатель на sinθ, получим формулы, куда входит только одна тригонометрическая функция:

, . (14)

Полученные выражения для  и  — формулы Френеля для наклонного падения.

В различных задачах удобно пользоваться то одним, то другим представлением этих коэффициентов.

Из (13) видно, что при n>1 отражение и прохождение — правильные при любом угле скольжения падающей волны. При n<1 правильность сохраняется только при углах скольжения падающей волны, больших так называемого критического угла скольжения θκρ, определяемого равенством

. (15)

При меньших значениях угла скольжения («закритических» углах) выражения для  и  теряют смысл (становятся мнимыми). Картина отражения и прохождения при закритических углах более сложна и упрощается только для гармонических волн.