Эквивалентная шумовая полоса следящих систем

Под эквивалентной шумовой полосой следящей системы понимают полосу пропускания эквивалентной системы, имеющей прямоугольную АЧХ, одинаковое с исходной системой ее значение на нулевой частоте и одинаковую дисперсию на выходе при воздействии на входы систем белого шума (рис.4).

Рис.4. АЧХ исходной и эквивалентной систем.

Чтобы определить полосу пропускания  используем условие равенства дисперсий:

Отсюда

.

Использование значения эквивалентной шумовой полосы позволяет упростить вычисление дисперсии:

; .

Если , то , или ,

где  ─ односторонняя спектральная плотность.

Формулы для расчета эквивалентной шумовой полосы систем приведены в табл.1

Таблица 1. Формулы для расчета эквивалентной шумовой полосы.

Оптимизация параметров следящих систем

Для решения задачи оптимизации необходимо определить структуру системы, предъявляемые требования и ограничения, накладываемые на систему, описать воздействия и возмущения, выбрать критерий оптимизации и метод.

Оптимизируем параметры kи2 и T1 в системе (рис.5), в которой задающее воздействие λ(t) – детерминированная функция, а возмущение ─ случайный процесс ξ(t).

В качестве критерия оптимизации используем критерий минимума среднего квадрата ошибки:

; (5)

где  - квадрат математического ожидания ошибки слежения.

Рис.5. Структурная схема оптимизируемой системы.

Исходные данные:

; .

Необходимо определить и по критерию (5).

Величина математического ожидания (динамической ошибки) определяется выражением

.

Величина дисперсии ошибки:

. (6)

Для определения оптимальных значений параметров воспользуемся методом дифференцирования:

.

Из этого уравнения определяем

. (7)

Подставив в исходное уравнение (6) вместо T1 его оптимальное значение (7) и продифференцировав по переменной kи2, найдем ее оптимальное значение

.

Пусть задающее воздействие является случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью

Флюктуационная составляющая характеризуется спектральной плотностью .

В качестве фильтра используется идеальный интегратор:

.

Найдем оптимальное значение коэффициента передачи интегратора  по критерию минимума суммарной ошибки слежения:

,

где ─ величина дисперсии ошибки, обусловленная неточным воспроизведением входного воздействия;  ─ величина дисперсии ошибки обусловленная воздействием флюктуационной составляющей.

. (8)

Продифференцируем (8) по  и приравняем производную нулю. В результате получим

.