Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной                                    окружности

 

Условимся обозначать символом  положительно ориентирован­ный угол, на который надо повернуть вектор , чтобы он стал сонаправлен

 

                                    

 

с вектором . Если  и , то точкам Р и Q соответст­вуют комплексные числа b—а и d—c(рис.7) и

                      (24)

Эта формула в применении к положительно ориентированному треуголь­нику АВС дает:          

                        (25)

Если z=r(  ,то  Отсюда

                                                                       (26)

Тогда                          так как

Итак,

                          (27)

Аналогично находим:

.                  (28)                                             

Выведем формулу для площади S положительно ориентированного треугольника АВС:

или

                                        (29)

что можно записать в виде определителя третьего порядка:

                                                          (30)                                       

Если треугольник АВС вписан в окружность , то формула (29) преобразуется к виду

.                                            (31)

Для площади S положительно ориентированного четырехугольника ABCD имеем:

   (32)

Если четырехугольник ABCD вписан в окружность zz==l, то (32) при­нимает вид:

                                          (33)

Три произвольно взятые точки всегда принадлежат либо одной окруж­ности, либо одной прямой. Критерии принадлежности трех точек одной прямой рассмотрены выше.

Докажем КРИТЕРИЙ принадлежности четырех точек одной окружности или прямой.

Возьмем четыре произвольные точки A , В, С, D соответственно с комплексными координатами а, b,c,d. Комплексное число

                                        (34)

называется двойным отношением точек A, В, С, D и обозначается (AB, CD). Порядок точек существен.

 

Теорема. Для того чтобы, четыре точки лежали на одной прямой или на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом.

 

Доказательство. Если точки А, В, С, D коллинеарны, то отно­шения  и действительные числа (см. условие (10)). Следовательно, в этом случае будет действительным и двойное отношение (34). Если точки А, В, С, D лежат на окружности, то рассмотрим два воз­можных случая:

 

1) точки С и D находятся в одной полуплоскости от прямой АВ;

2) точки С и D находятся в различных полуплоскостях от прямой АВ.

 

В первом случае ориентированные углы ВСА и BDA равны, во втором случае ВСА+ АDВ= ± , т. е. ВСА- ВСА= ± . В обоих случаях разность  равна нулю или ± . Но поскольку согласно (24) эта разность равна

то  — действительное число.

Обратно: если двойное отношение четырех точек действительно, то эти точки или коллинеарны, или принадлежат одной окружности. В самом деле, тогда если  действительное число, то и  действительное число.                           Поэтому точки А, В, С коллинеарны и точки А, В, D коллинеарны, и, значит, все четыре точки коллинеарны. Если же число  комплексное, то и число  также комплексное, отличное от действительного. Поэтому точки A, B, С неколлинеарны и точки А, В, D также неколлинеарны. Так как по условию двойное отношение вещественно, то

Следовательно, либо BCA = BDA , либо ВСА— В D А=± , т.е. ВСА+ ADB =± . В первом случае отрезок АВ из точек С и D виден под равными углами, и, стало быть, они принадлежат одной дуге окружности, стягиваемой хордой АВ. Во втором случае сумма противоположных углов четырехугольника ACBD равна ± , и поэтому он будет вписанным в окружность. Доказательство закончено.

Задача 1. В окружности проведены три параллельные хорды Доказать, что для произвольной точки М окружности прямые образуют равные углы соответственно с прямыми ВС, СА, АВ.

Решение. Принимая окружность за единичную, отнесем точкам А, В, С, A ₁ , B ₁ , C ₁ комплексные числа Тогда по условию (9) параллельности хорд имеем  Следует доказать, что  (рис.8).

Первое равенство эквивалентно такому:

Или

                             

т. е. эта дробь должна быть числом действительным. А это имеет место, поскольку сопряженное ей число

равно этой же дроби. Аналогично доказывается и второе равенство углов.

Задача 2. На плоскости даны четыре окружности так, что окружности  и  пересекаются в точках  и ; окружности  и  пе­ресекаются в точках и , окружности  и — в точках и  и ок­ружности  и  — в точках  и . Доказать, что если точки лежат на одной окружности или прямой, то и точки  также лежат на одной

 

             

 

окружности или прямой (рис.9).

Решение. Согласно теореме этого параграфа и условию задачи будут действительрыми двойные отношения:                                                          

               

Поэтому будет действительным и число

             

Следовательно, из вещественности двойного отношения  вы­текает вещественность и двойного отношения .

 

 

Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник

 

ОПР: Треугольники АВС и подобны и одинаково ориентированы (по­добие первого рода), если только  и

 (углы ориентированные).

Эти равенства с помощью комплексных чисел можно записать так:

         

Два равенства  и  эквивалентны одному  или 

                                             (35)

где  комплексное число, коэффициент подобия.

 Если, в частности,  - число действительное, то и на основании признака (8) будет . По такой же причине и . Следовательно, треугольники  и  гомотетичны. 

Соотношение (35) — необходимый н достаточный признак того, что треугольники АВС и  являются подобными и одинаково ориенти­рованными. Ему можно придать симметричный вид:

                                         (36)

или

.                                                    (37)

ОПР. Треугольники АВС и подобны и противоположно ориентированы (подобие второго рода),  и . Последнее равенство дает:

                        

Два равенства

                      и

эквивалентны одному

                                       

или             

                                                         (38)     

где  - комплексное число, -коэффициент подобия.

Соотношение (38) есть необходимый и достаточный признак того, что треугольники АВС и  подобны и ориентированы противоположно. Его можно записать в симметричной форме:

 

                                      (39)

 

или же так:

                                                (40)

 

Если , то треугольники АВС и будут равны (конгруэнтны).

Тогда соотношения (35) и (38) становятся признаками равенства треугольников соответственно одинаковой и противоположной ориентации.

Рассмотренные признаки подобия треугольников позволяют обосновать простой способ построение произведения и частного двух комплексных чисел. Пусть даны точки  с комплексными координатами  и требуется построить точку М с координатой z = ab . Тогда, очевидно, . Это равенство говорит о том, что треугольники ОЕА и ОВМ подобны и одинаково ориентированы. Отсюда и вытекает способ построения точки М, соответствующей произведению ab (рис.10).

Обратно: если даны точки М и А соответственно с координатами ab и a, то точка В, соответствующая частному этих чисел строится на основании тех, же подобных треугольников.  

Следует обратить внимание на один важный частный случай. Если |а|=1, то точка М будет образом точки В при повороте около нулевой точки на угол . Если потребовать, чтобы ориентированный треугольник АВС был подобен ориентированному треугольнику BCA , то треугольник АВС необходимо будет правильным. Поэтому из условия (36) получаем необходимое и достаточное условие того, чтобы треугольник АВС был правильным

                                            (41)

или

                                         (42)

Введем в употребление комплексное число  являюще­еся одним из корней уравнения (Формула для нахождения корней - ) Другие два корня которого равны 1 и . По теореме Виета для кубического уравнения  имеем  Это легко проверить и непосред­ственно. Тогда равенство (41) будет эквивалентно такому:

 

 

                

 

                           

или после умножения первого трехчлена на :

.                                       (43)

 Итак, для того чтобы треугольник АВС был правильным, необходимо и достаточно выполнения хотя бы одного из равенств:

 

                                                    (44)

 или же         

                                                   (45)

 

Оказывается, первое из этих равенств соответствует только тому случаю, когда треугольник АВС ориентирован положительно, а второе выполняется лишь при отрицательной его ориентации. В самом деле, так как умножению на  отвечает поворот на , то при положительной ориентации треугольника (рис.11), откуда и поэтому

Аналогично проверяется выполнение равенства (45) для отрицательно ориентированного правильного треугольника АВС. Очевидно, одновременно равенства (44) и (45) выполняться не могут.

 Если правильный треугольник АВС вписан в окружность , то при его положительной ориентации и , а при отрицательной ориента­ции и Поэтому каждое из условий (44) и (45) принимает вид:

                                                    (46)

Задача 1. Доказать, что треугольник , стороны которого при­надлежат касательным в вершинах треугольника АВС к его описанной ок­ружности, гомотетичен треугольнику с вершинами в основаниях высот треугольника АВС.   

Решение. Принимаем описанную окружность за единичную  Руководствуясь формулами (20) и (19), получаем:

             

Проверяем выполнимость признака (35):

                      

 причем , т. е. -действительное число. Значит, треугольники и  гомотетичны.

 

3адача 2. Два равных одинаково ориентированных треугольника АВС и  вписаны в одну окружность. Доказать, что треугольник с верши­нами в точках пересечения прямых ВС и , СА и , AB и подобен данным треугольникам.

Решение. Придадим окружности уравнение . Вершины. треуголь­ника  служат образами вершин треугольника АВС при повороте на некоторый угол . Поэтому  Если — точки пересечения прямых ВС и  СА и  АВ и  соот­ветственно, то на основании (17)  откуда  Аналогично  

Осталось проверить условие (17):  что делается непосредственной подстановкой.

 

3адача 3. Доказать, что середины отрезков, соединяющих соответственные вер­шины двух равных и противоположно ориентированных треугольников, коллинеарны.

Решение. Для доказательства данной задачи воспользуемся:

1)   Формулой (38),- необходимое и достаточное условие равенства двух противоположно ориентированных треугольников ABC и ;

2)   Формулой (4а) для точек M , N , P:  (из условия задачи);

3)   Формулой (11),- коллинеарности точек M , N , P:

Теперь простой проверкой убеждаемся в том, что из 1) 2)  3).

 

ПРЯМАЯ И ОКРУЖНОСТЬ НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

 

Пусть произвольной точке М плоскости комплексных чисел соответ­ствует комплексное число . Из равенств  и  од­нозначно выражаются декартовы координаты х и у точки М через комплекс­ные числа и :

                                           (1)

Поэтому комплексные числа z и  называются сопряженными комплексными координатами этой точки.                                      

Формулы (1) позволяют осуществить переход от уравнения геометри­ческой фигуры в декартовых координатах к ее уравнению в сопряженных комплексных координатах. Однако сейчас мы предпочли непосредственное рассмотрение уравнений в сопряженных комплексных координатах.

 

Геометрический смысл уравнения

Найдем множество точек плоскости, сопряженные комплексные коорди­наты которых удовлетворяют уравнению

                                                                       (2)                                                                                                             

Сначала выделим особый случай, когда с=0. Тогда имеем систему отно­сительно  и

второе уравнение которой получается из первого переходом к сопряжен­ным числам. Уравнивая коэффициенты при , путем вычитания второго уравнения из первого получаем:

Если , т.е. , то решением полученного уравнения, а значит, и решением исходного уравнения  будет единственное число z=0. При  уравнение  напишем в виде . Модули левой и правой частей равны. Необходимо, чтобы , откуда . Этому условию удовлет­воряет каждая точка прямей m, проходящей через начало под углом  к действительной оси (рис.1). Так, уравнением 

                                                (3)

задается прямая при  и точка  при .

Пусть теперь . Свободный член уравнения (2) можно всегда сделать действительным числом путем умно­жения обеих частей уравнения на с. Поэтому сразу будем полагать  Тогда имеем систему:

из которой получаем: . Рассмотрим возможные случаи.

Если , то  и подстановкой в исходное уравнение получаем:  или .

При  его решение единственно:

При  решений нет.

Если , то  и , т. е. . В этом случае уравнением (2) при  прямая. В самом деле, возьмем точку  и век­тор  точки В( b ) и рассмотрим множество точек М(z), для каждой из ко­торых ( MQ ) ( OB ):

                                      (4)

Очевидно, это множество есть прямая. При  и  уравнение (4) эквивалентно уравнению (2).

Таким образом, при  и  уравнение (2) есть уравнение прямой, которая проходит через точку  перпендикулярно вектору .

Наконец, отметим случай, когда , но . Тогда система

приводит к противоречию: , т.е. .

Подведем итоги. Уравнением , в котором хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля, задается:

1) прямая при |а|=| b |, с=0, а также при ;

2) единственная точка при ;

3) пустое множество в иных случаях, т. е. при | a | = | b |, , а так­же при , .                                             

Достигнув поставленной цели, возвратимся снова к системе:

не налагая ограничений на коэффициенты а, b , с, кроме того, что a и b не равны нулю одновременно. Уравнивая коэффициенты при , приходим к уравнению , которое:

а) имеет единственное решение при ;

б) имеет бесконечное множество решений при  и ;

в) не имеет решений при  и .

 Отсюда и на основании результата предыдущих исследований получаем, что уравнение  определяет:

а) единственную точку при

б) прямую при  и ;

в) пустое множество при  и .

Уравнение

                                         (5)

прямой в сопряженных комплексных координатах будем называть приведен­ным уравнением прямой.

 

Две прямые. Расстояние от точки до прямой

 

Пусть прямая т задана приведенным уравнением . Так как она перпендикулярна вектору , то вектор  будет ей параллелен (рис.2). Следовательно, ориентированный угол от оси х до прямой т равен аргументу числа ai :

 

.                    (6)

 

Положительно ориентированный угол  от прямой  до прямой  равен углу между их направляющими векторами  и :

.                                         (7)                                                                

 

Формулы (6) и (7) позволяют находить соответствующие углы с точ­ностью до слагаемого .

Из формулы (7) вытекает критерий перпендикулярности и критерий параллельности прямых  и . В самом деле,  чисто мни­мое число. Это значит, что , или

.                                              (8)

При  или  получаем:

.                                               (9)

Если прямая  проходит через точку , то  и ее уравнение можно написать в виде:

                                        (10)

В силу условия (8) перпендикулярности для прямой, перпендикуляр­ной данной, коэффициентами при, z и  будут соответственно числа а и . Поэтому на основании уравнения (10) получаем уравнение

                                     (11)

прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой . Решение системы

дает координату 

                                                    (12)

основания M ₁ перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую .

Так как расстояние d от точки M₀ этой прямой равно , то

.                                    (13)

Геометрический смысл, уравнения

Из формулы расстояния между двумя точками получается уравнение окружности по ее центру S ( s ) и радиусу R :

                                         (14)

Пусть дано уравнение

,                                         (15)

в котором на комплексные коэффициенты а, b , с не накладывается заранее никаких условий. Требуется найти множество точек, координаты которых ему удовлетворяют. С этой целью удобно представить его в эквивалентном виде:

.                                      (16)

Рассмотрим все возможные случаи для коэффициентов а, b , с.

1. Сравнивая уравнение (16) с уравнением (14) окружности, приходим к выводу, что уравнение (16), а значит, и уравнение (15) задают окружность тогда и только тогда, когда