Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений

Собственные колебания пластин

Выполнила:

студентка V курса математического факультета

Чураева Анна Сергеевна

Научный руководитель: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ С.А. Фалелеева

Рецензент: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Л.В. Ончукова

 

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой                      М.В. Крутихина

«___»___________2005 г. Декан факультета                В.И. Варанкина

 

Киров

2005

Содержание

Введение........................................................................................................... 3

Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений.................................................................................................... 4

1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия..................... 4

1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье................................... 6

1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами......................................................................................... 8

Глава II Нахождение функций, описывающих собственные колебания мембран 11

2.1 Основные определения............................................................................ 11

2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны.............................. 12

2.3 Собственные колебания круглой мембраны.......................................... 19

Заключение.................................................................................................... 28

Библиографический список........................................................................... 29

Приложение................................................................................................... 30

Введение

 Математическая физика ставит своей задачей возможно более точное изучение явлений природы. С этой целью она использует аппарат математики. Объектом изучения математической физики могут служить только те явления природы, которые поддаются измерению. Например, механическое движение, звук, теплота, свет и т. д.

Цели работы:

Изучить математическую литературу по данной теме.

2. Освоить основные методы решения задач математической физики и применить их к решению задач.

Задачи работы:

1. Решить двумерное уравнение колебаний мембраны при дополнительных условиях для прямоугольной и круглой мембраны.

2. Сравнить полученные результаты для обоих случаев с аналогичными задачами, решенными для других дополнительных условий.

Методы работы:

· Изучение специальной литературы;

· Решение задач.

 

 

Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

 Дифференциальным уравнением с частными производными называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких переменных, независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным. Решением уравнения с частными производными называется функция, обращающая это уравнение в тождество [4].

1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия

При математическом описании физического процесса нужно, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бесконечное множество решений. Поэтому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с частными производными, для однозначной характеристики процесса необходимо задать некоторые дополнительные условия.

В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка частное решение определяется начальными условиями, например, заданием значений функции и ее первой производной при «начальном» значении аргумента. Для уравнения с частными производными возможны различные формы дополнительных условий.

Рассмотрим их для задачи о поперечных колебаниях струны (под струной понимаем тонкую упругую нить). Каждую точку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t достаточно задать компоненты вектора смещения точки x в момент t . Тогда  будет задавать отклонение струны от оси абсцисс.

(1.1.1)

Если концы струны  закреплены, то должны выполняться граничные условия

, .

Так как процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

(1.1.2)

,

.

Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных условий, где  и  – заданные функции точки.

(1.1.1 ¢)

Если концы струны движутся по заданному закону, то граничные условия (1.1.1) принимают другой вид:

, ,

где  и  - заданные функции времени t.

Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией.

В точке подвеса x =0 отклонение

;

на свободном конце x = l натяжение пружины

равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка условия свободного конца имеет вид

.

Если конец x =0 движется по определенному закону , а при x = l задана сила , то

.

Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для x = l

 или ,

при котором конец x = l может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в прежнее положение.

Если точка (система), относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается, и ее отклонение от начального положения задается функцией , то граничное условие принимает вид

.

Условие упругого закрепления при x =0 имеет вид

.

Таким образом, имеют место три основных типа граничных условий, например, при x =0:

§ граничные условия 1-го рода  - заданный режим,

§ граничное условие 2-го рода  - заданная сила,

§ граничное условие 3-го рода  - упругое закрепление.

Аналогично задаются граничные условия и на втором конце x = l . Если функция, задаваемая в правой части (  или ), равны нулю, то граничные условия называются однородными [8].

1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье

Одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными является метод разделения переменных или метод Фурье.

Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую для t >0 уравнению

(1.2.1)

в области D и дополнительным начальным и граничным условиям, где  дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка.

Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых частных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиальные частные решения уравнения (1.2.1), удовлетворяющие граничным условиям, в классе функций вида  (где  непрерывны в ,  непрерывны в ). Подставляя функцию  в уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на , получаем

.

Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функция  удовлетворяла уравнению (1.2.1) при всех ) необходимо и достаточно, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе

.

(1.2.2)

Таким образом, должны выполняться тождественно

,

(1.2.3)

,

причем функция  должна удовлетворять граничным условиям. Соответствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные решения не при всех значениях . Те значения , при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой задачи, а соответствующие им решения  уравнения (1.2.3) – собственными функциями краевой задачи.

Суть метода Фурье:

ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только граничным условиям, среди функций вида . Для функции  получаем краевую задачу;

решаем краевую задачу для функции . Пусть  суть собственные функции этой задачи, а  - отвечающие им собственные значения;

для каждого собственного значения  находим решение уравнения (1.2.3);

таким образом, частным решением уравнения (1.2.1), удовлетворяющим только граничному условию, являются функции вида ;

возьмем сумму таких частных решений по всем собственным функциям .Данная функция будет являться общим решением рассматриваемой задачи. Причем коэффициенты выбираются таким образом, чтобы эти суммы были решениями начальной задачи [2].

1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Уравнение

(1.3.1)

является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффициентом при старшей производной равным единице, а . Рассмотрим решение уравнения (1.3.1), оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях.

В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему решений.

Покажем, что выражение

(1.3.2)

,

где  – действительное число, будет удовлетворять нашему уравнению.

Продифференцируем по x выражение (1.3.2):

.

Подставляем полученные выражения в (1.3.1):

(1.3.3)

.

Обозначим через  - это есть характеристический многочлен, соответствующий оператору L. Тогда (1.3.3) запишется в виде .

Характеристический многочлен получается из оператора L [ y ], если производные различных порядков в этом уравнении заменить равными степенями величины :  на .

(1.3.4)

Если (1.3.2) есть решение (1.3.1), то выражение (1.3.3) равно тождественно нулю, но , следовательно

.

Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением. Если мы в качестве постоянной  в выражение  возьмем корень  характеристического уравнения (1.3.4), то , т.е.  будет решением дифференциального уравнения (1.3.1).

Уравнение (1.3.4) – уравнение 2-ой степени, следовательно, имеет 2 корня. Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному решению дифференциального уравнения (1.3.1).

Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет

,

где  - произвольные постоянные, а  - решения характеристического уравнения (1.3.4) [6].

(1.3.5)

Если корни характеристического уравнения комплексные, , то они будут сопряженными, т.к. коэффициенты уравнения действительные числа. В таком случае, общим решением уравнения (1.3.5) будет

.

Если корни характеристического уравнения чисто мнимые, т.е. . Общим решением уравнения (1.3.1) будет

(1.3.6)

.

Если предположить, что характеристическое уравнение имеет равные корни , то одно частное решение будет иметь вид

.

Второе частное решение будет

.

Тогда общее решение уравнения (1.3.1) можно представить в виде

(1.3.7)

.

Глава II Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны

2.1 Основные определения

В этой главе использованы следующие обозначения

·  - частная производная функции  по ;

·  - производная функция одной переменной.

Мембраной называется плоская пластинка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мы будем рассматривать поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно к плоскости мембраны. Отклонение точек мембраны от плоскости xOy будем обозначать через функцию , которая зависит от координат точки ( x , y ) и от времени t. Вывод дифференциальных уравнений задач математической физики сопровождается целым рядом допущений как механических, так и геометрических. Так при выводе уравнения колебания прямоугольной мембраны мы пренебрегли квадратом частных производных

(2.1.1)

.

В результате получается следующее уравнение колебаний прямоугольной мембраны

.

В случае рассмотрения мембраны круглой формы полезно перейти к полярным координатам. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса  с центром в начале координат. Введем полярные координаты , . Уравнение границы круга будет при этом . Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат  и  и времени t:

.

Выражение для оператора  в полярных координатах имеет вид

,

Тогда уравнение колебаний мембраны (2.1.1) перепишется в виде

(2.1.2)

.

В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных функций в следующем виде:

Система функций  называется ортогональной на интервале , если интеграл от произведения любых двух различных функций системы равен нолю:  ( ). Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегралом содержится множитель , в таких случаях говорят об ортогональности с весом  [1].

2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны

Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением

(2.2.1)

(2.2.1)

Пусть в плоскости ( x , y ) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b₁ и b₂, закрепленная по краям. Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости.

Для нахождения функции , характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях

(2.2.2)

и граничных условиях

(2.2.3)

.

Краткое решение задачи (2.2.1) – (2.2.3) приведено в книге [8], где были получены следующие результаты.

Функция  имеет вид

,

где  - собственные функции, соответствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определяющиеся формулой

.

А коэффициенты  и  равны:

,

.

Найдем решение задачи при других граничных условиях.

Итак, для нахождения функции , характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях

(2.2.4)

и граничных условиях

(2.2.5)

.

(2.2.6)

Будем искать решение методом Фурье. Пусть функция

(2.2.7)

и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции  в уравнение (2.2.1) и, поделив обе части уравнения на  (при этом мы не теряем решений, т. к. ), получаем

.

Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных ( x , y ), а левая – только t. Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

(2.2.8)

,

где  - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

(2.2.9)

Из соотношения (2.2.8) получаем однородное дифференциальное уравнения второго порядка для функции :

,

а для функции  следующую краевую задачу:

(2.2.10)

 Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть

(2.2.10)

и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции  в уравнение  и, поделив обе части уравнения на , приведем его к виду

.

Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y, а левая – только x. Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя  (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка:

1.

2.

где  и  - постоянные разделения переменных, причем . При этом граничные условия для  и  вытекают из соответствующих условий для функции .

,

,

,

.

Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения:

(2.2.11)

(2.2.12)

 - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом, общее решение данного уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра  отрицателен, равен нулю, положителен.

1) При  задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения  имеет вид

,

т. к. характеристическое уравнение  имеет корни .

Учитывая граничные условия, получаем:

т.к.  - действительно и положительно, то .

2)  При нетривиальных решений тоже не существует.

3) При  общее решение уравнения  имеет вид

.

Учитывая граничные условия, получаем:

, т.к. мы ищем нетривиальные решения, , следовательно

Итак, только при значениях равных , существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид

.

Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице.

Аналогично получаем решение задачи (2.2.12):

Собственным значениям , таким образом, соответствуют собственные функции

,

где  - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций  с весом единица была равна единице

.

Вычислим отдельно интегралы в равенстве:

(2.2.13)

Тогда,

.

Число собственных функций, принадлежащих  зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения

.

Собственным значениям  соответствуют решения уравнения :

,

где  и  - произвольные константы.

Возвращаясь к начальной задаче для уравнения  с дополнительными условиями (2.2.4) – (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид

.

Тогда общее решение запишется в виде

,

где  определяется формулой (2.2.13), а коэффициенты  и  равны:

,

.

В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных условиях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий.

2.3 Собственные колебания круглой мембраны

Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных граничных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембраны.

(2.3.1)

Уравнение колебаний круглой мембраны в полярных координатах имеет вид

.

Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях

(2.3.2)

(2.3.3)

и граничных условиях

.

Применим метод разделения переменных. Пусть

.

Подставляем полученное выражение для функции  в уравнение (2.3.1), получаем:

.

(2.3.4)

Так как нужно найти нетривиальное решение задачи, то , полученное равенство можно поделить на . Тогда

.

Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции

,

(2.3.5)

решением, которого будет функция (см. 2.2)

,

и следующую задачу на собственные значения для функции :

(2.3.6)

К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции . Пусть , подставляем в уравнение для функции .

Поделим данное равенство на :

Так как левая часть соотношения ( ) функция только переменной r, а правая ( ) - только переменной , то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно . При данном предположении получаем:

1) однородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения функции :

Нетривиальные периодические решения для  существуют лишь при  и имеют вид (см. 2.2):

.

2) уравнение для определения функции

(2.3.7)

(2.3.8)

Из граничных условий для функции  получаем граничные условия для функции :

Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.

Введем новую переменную