Квадрат и его свойства.

Частные случаи параллелограмма.

Прямоугольник, его свойства и признаки.

Опр. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

ABCD – прямоугольник.

Так как прямоугольник – это параллелограмм, то он обладает всеми его свойствами.

Свойства прямоугольника.

1) Противоположные стороны прямоугольника равны.

2) Противоположные углы прямоугольника равны.

3) Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

4) Диагонали прямоугольника равны.

Дано: ABCD – прямоугольник. AC и BD – диагонали.

Доказать: AC = BD.

Доказательство:

Рассмотрим   и (они прямоугольные).

1) А D – общая.

2) АВ = С D (по свойству 1).

Из условий 1), 2) получаем, что  =  по 2-м катетам. В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны. Значит, AC = BD.

Что и требовалось доказать.

Признаки прямоугольника.

Признак I

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Дано: ABCD – параллелограмм. AC и BD – диагонали.  AC = BD.

Доказать: ABCD – прямоугольник.

Доказательство:

I) Рассмотрим   и .

1) А D – общая.

2) AB = CD (по свойству 1).

3) BD = AC  (по условию). 

Из условий 1), 2), 3) получаем, что  =  по 3-м сторонам. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. Значит, .

II) (по доказанному в I-м),  и (по свойству 2).

Тогда  Значит, ABCD  – прямоугольник по определению.

Что и требовалось доказать.

Признак II

Если в параллелограмме все 4 угла равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Признак III

Если в параллелограмме диагональ делит его на 2 равных прямоугольных треугольника, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Признак IV

Если в параллелограмме один из углов прямой, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Признак V

Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромб, его свойства и признаки.

Опр. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

 

 

Так как ромб – это параллелограмм, то он обладает всеми его свойствами.      

Свойства ромба.

1) Противоположные стороны ромба равны.

2) Противоположные углы ромба равны.

3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

4) В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Дано: ABCD – ромб. AC и BD – диагонали.

Доказать:  AC и BD – биссектрисы углов ромба.

Доказательство: 

I) BC = CD (по определению ромба), тогда - равнобедренный треугольник (по определению).

II) BO = OD (по свойству 3), тогда СО – медиана (по определению).

III) - равнобедренный треугольник и СО – медиана, тогда СО – высота и биссектриса. Значит, и        СО – биссектриса

IV) Аналогично доказывается, что BD – биссектриса.

Что и требовалось доказать.

Признаки ромба.

Признак I

Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

Дано: ABCD – параллелограмм. AC и BD – диагонали.

Доказать: ABCD – ромб.

Доказательство:

I) Рассмотрим   и (они прямоугольные).

1) АО – общая.

2) ВО = О D (по свойству 3).

Из условий 1), 2) получаем, что  =  по 2-м катетам. В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны. Значит, A В = А D.

II) A В = А D (по доказанному в I-м), A В = С D и А D = ВС (по свойству 1 параллелограмма), тогда      AB = BC = CD = AD .

III) ABCD – параллелограмм и AB = BC = CD = AD, тогда ABCD – ромб.

Что и требовалось доказать.

Признак II

Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм – ромб.

Дано: ABCD – параллелограмм. AC и BD – диагонали и биссектрисы углов.

Доказать: ABCD – ромб.

Доказательство:

I) (по свойству 2), тогда

II) тогда - равнобедренный (по признаку), значит, AD = DC (по определению).

III) AD = DC (по доказанному во II-м), AD = BC и AB = DC (по свойству 1 параллелограмма), значит, AD = DC = AB = BC.

IV) ABCD – параллелограмм и AD = DC = AB = BC, тогда ABCD – ромб.

Квадрат и его свойства.

Опр.1 Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые.

Опр.2 Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Опр.3 Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Свойства квадрата.

I) От параллелограмма:

1) Противоположные стороны квадрата равны.

2) Противоположные углы квадрата равны.

3) Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

II) От прямоугольника:

4) Диагонали квадрата равны.

III) От ромба:

5) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

6) Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.

Своих свойств у квадрата нет.