Случайная функция, случайный процесс, случайное поле

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Оглавление

Случайная функция, случайный процесс, случайное поле. 2

Функция распределения вероятностей случайного процесса. 3

Плотность распределения вероятностей случайного процесса. 4

Моментные функции случайного процесса. 5

Условные распределения вероятностей. 6

Примеры математических моделей случайных процессов. 7

Стационарные процессы.. 8

Литература. 10

Случайная функция, случайный процесс, случайное поле

69.1. Случайной функцией  называется случайная величина , зависимая от параметра . Случайные величины  могут быть вещественными, либо комплексными, либо векторными; аргумент  может быть вещественным или векторным. Самый простой пример случайной функции получаем для вещественного параметра  и вещественной случайной величины . При этом  называется случайной функцией одной переменной или случайным процессом. Отметим, что аргумент  случайного процесса не обязательно имеет размерность времени.

Более сложные примеры случайных функций встречаются в задачах физики, океанологии, метеорологии и других областях приложения теории вероятностей. Так, температура воздуха  в точке пространства  и в момент времени  часто рассматривается как случайная величина. Таким образом, температура воздуха  является случайной функцией, зависимой от трех декартовых координат  времени . Случайную функцию, зависимую от нескольких переменных принято называть случайным полем.

69.2. Случайный процесс  как функция аргумента  имеет свою область определения , которая может быть отрезком на вещественной оси, положительной полуосью, всей вещественной осью и т. д. Рассмотрим случайный процесс  при фиксированном , тогда  - случайная величина, которая называется сечением случайного процесса в точке .

Пусть выполняется  опытов, в каждом из которых измеряется значение ,  , случайной величины . Тогда результаты измерений – это  чисел

                    .                                         (69.1)

 В отличие от случайной величины  измерение случайного процесса  выполняется в течение некоторого интервала  -интервала наблюдения. Последний либо содержится в области определения , либо совпадает с ней. Пусть детерминированная функция , , - результат измерения случайного процесса в первом опыте, функция , , - результат измерения случайного процесса во втором опыте, и т.д. Тогда результаты всех  опытов, аналогично (69.1), представляются совокупностью  детерминированных функций времени:

                             (69.2)

Каждая функция  ,  , называется реализацией (траекторией, выборочной функцией, выборкой) случайного процесса . Совокупность (69.2) называется ансамблем реализаций случайного процесса . Ансамбль реализаций содержит информацию о статистических свойствах случайного процесса  аналогично как и совокупность измерений (69.1) содержит информацию о статистических свойствах случайной величины .

69.3. В зависимости от того, дискретны или непрерывны время  и реализации , различают четыре типа случайных процессов.

1). Случайный процесс общего типа: время  - непрерывно и реализации - непрерывны.

2). Дискретный случайный процесс: время  - непрерывно и - дискретны.

3). Случайная последовательность:  - дискретно и - непрерывны. В литературе случайные процессы этого типа принято называть временными рядами.

4). Дискретная случайная последовательность:  - дискретно и - дискретны.