Моделирование паркета из пятиугольников

Задача. Написать математическую модель для составления программы изображения паркета на экране компьютера, используя шестиугольник, изображенный на рис. 1.

Для пятиугольника, изображенного на рис. 1, выполняются следующие условия:

1) , (1)

2) , (2)

3) . (3)

 

 

 

В классификации М. Гарднера [3, c.184], [1 , c. 196] и Марджори Райс [3, c.189] этому пятиугольнику присвоен тип № 2.

Условия (2) и (3) не являются независимыми. Вычисляя сумму углов пятиугольника по формуле , получаем 540⁰, поэтому достаточно потребовать выполнение одного из условий (2), (3), тогда второе выполняется автоматически. Итак, уменьшая число параметров  для пятиугольника на 2 на основании равенств (1), (3), получаем пять параметров для задания пятиугольника. Это (рис. 2.)

1) длины сторон: a = AE , b = ED , c = CB ,

2) углы: .

 

 

Для декартовой системы координат, изображенной на рисунке 2, получаем координаты вершин и векторов:

.

Для задания вектора  введем вспомогательный угол , образованный этим вектором с положительным направлением оси Ох

Для углов в точке D с учетом их ориентации имеем

 

 или

 

 

Для задания вектора  введем вспомогательный угол , образованный этим вектором с положительным направлением оси .

Для углов в точке С имеем

 

,

.

,

 

 

На вводимые параметры наложим естественные условия:

 

 (4)

 

Но при построении пятиугольника с этими условиями могут возникнуть следующие конфигурации, приводящие к невыпуклым пятиугольникам:

а) После последовательного построения отрезков ЕА, ED , DC для пятиугольника точки Е и С оказались расположенными по одну стороны относительно прямой AD (рис. 2, рис. 3), но в выпуклом многоугольнике точки Е и С должны располагаться по разные стороны относительно диагонали AD .

 

 

Две точки расположены по одну сторону относительно прямой, заданной уравнением , тогда и только тогда, когда выполняется условие

 

. (5)

 

Составим уравнение прямой AD

.

 (6)

 

Неравенство (5) для точек  и прямой (6) принимает вид

 

 

 

После упрощения получаем неравенство

 

 (7)

 

Итак, если после введения параметров выполняется неравенство (7), то программа должна предусмотреть возврат на уточнение параметров, чтобы избежать конфигурации, рассмотренной в случае а).

Рассмотрим второй способ нахождения аналитической характеристики случая а).

Найдем величины ,

 

 

Функция  на отрезке  является монотонно убывающей функцией, поэтому из условия  следует условие  и наоборот.

Если для введенных параметров выполняется условие

 

, (8)

то следует повторить ввод параметров для пятиугольника.

б) При построении отрезка СВ снова может возникнуть конфигурация, приводящая к невыпуклому пятиугольнику.

 

 

Составим уравнение прямой АВ

 

.

 

Неравенство (4) для точек  и прямой АС после упрощений принимает вид

 

 (9)

 

Если для введенных параметров выполняется условие (9), то следует повторить ввод параметров для пятиугольника.

с) При построении отрезка СВ снова может возникнуть конфигурация, приводящая к невыпуклому пятиугольнику.

 

			B

 

Чтобы избежать данной конфигурации необходимо потребовать, чтобы ордината точки В была меньше ординаты точки Е, то есть чтобы выполнялось следующее неравенство:

 

 (10)

 

Если для введенных параметров выполняется условие (10), то следует повторить ввод параметров для пятиугольника.

Координаты всех вершин пятиугольника определены, и пятиугольник можно построить на экране компьютера.

По условию: , следовательно, этими углами можно замостить окрестность точки.

Таким образом, для составления программы изображения паркета из данного пятиугольника на экране компьютера, достаточно рассмотреть три пятиугольникa: ABCDE, A ₂ B ₂ C ₂ D ₂ E ₂ и A ₃ B ₃ C ₃ D ₃ E ₃ (рис. 6).

			А3
					D2
				Рис.6

 

Рассмотрим математическую модель для составления программы изображения паркета на экране компьютера.

Координаты вершин пятиугольникa ABCDE :

 

 

Пятиугольник A ₂ B ₂ C ₂ D ₂ E ₂ получаются из пятиугольникa ABCDE с помощью центральной симметрии относительно середины отрезка АВ.

Тогда координаты вершин пятиугольникa A ₂ B ₂ C ₂ D ₂ E ₂ :

 

 

Пятиугольник A ₃ B ₃ C ₃ D ₃ E ₃ получаются из пятиугольникa ABCDE с помощью:

1) симметрии относительно оси Ох;

2) поворот на угол t относительно точки А; (получаем A ’₃ B ’₃ C ’₃ D ’₃ E ’₃)

3) параллельный перенос на вектор D ’₃ B

Координаты вершин пятиугольникa A ₃ B ₃ C ₃ D ₃ E ₃ :

 

Таким образом, для составления паркета из данного пятиугольника достаточно построить три пятиугольникa: ABCDE, A ₂ B ₂ C ₂ D ₂ E ₂ и A ₃ B ₃ C ₃ D ₃ E ₃ .

Программа построения и примеры паркета из рассмотренного пятиугольника представлены в приложении 3 и в приложении 4 соответственно.

После наложения условий (7)-(10) получаем паркет из выпуклых пятиугольников. Если снять некоторые условия из условий (4), тогда могут возникнуть случаи, когда шестиугольник выраждается в пятиугольник или четырехугольник, а пятиугольник вараждается в четырехугольник.

Заключение

 

В книгах [1; 2] рассмотрены различные типы пятиугольников и шестиугольников, которыми можно замостить плоскость, но, к сожалению, в них нет математической теории для моделирования этих пятиугольников и шестиугольников. В настоящей работе была выполнена формализация поставленной задачи, впервые построены модели, разработаны программы для построения паркетов из некоторых типов пятиугольников и шестиугольников предложенных в книге [2], а так же был проведен эксперимент по тестированию разработанных программ. Для математического моделирования применялся метод координат и векторный метод. В работе впервые выведены условия выпуклости данных типов пятиугольника и шестиугольника. Все программы разработаны в среде Турбо Паскаль и позволяют наглядно моделировать различные паркеты.

 

Литература

 

1. Гарнер М. Путешествие во времени. – М.: Мир, 1990. – 341 с.

2. Математический цветник. /Сост. и ред. Д.А.Кларнер. М.: Мир, 1983. – 494 с.

3. Совертков П.И., Енбаева Е.А. Равносторонний пятиугольник Рейнхардта// Элементарная математика, математическое образование, геометрия и информатика №3, СПб.: Мифрил, 2000, с. 68-75.

4. Совертков П.И.,Слива М.В., Хохлов Д.Н. Геометрический паркет – I // Элементарная математика, математическое образование, геометрия и информатика № 4, СПб.: Мифрил, 2000, с. 3-19.

Приложение 1

 

Программа для построения паркета из шестиугольника.

Program shestiugolnik;

uses graph;

label 1,2;

var a,z4,s4,b,d,f,xx,yy,grv,grm,x0,x1,j,i,x5,y5,x2,x3,x4,y0,t, u,y1,y2,y3, y4, z1,z2,z3,s1,s2,s3:integer;tex:string; q,w,e:real;

begin

 grv:=detect;

 initgraph(grv,grm,'d:\bp\bgi');

 1: writeln('gelaete vvesti parametri?(y/n)');

 readln(tex);

 if tex='n' then goto 2;

 writeln('vvedite storoni');

 readln(a,b,d,f);

 xx:=-10;yy:=-10;t:=xx;u:=yy;

 writeln('vvedite ugli');

 readln(q,w,e);

 q:=q*pi/180;w:=w*pi/180;e:=e*pi/180;

 i:=trunc(sin(e)*(f*sin(q)-d*sin(e)));

 j:=trunc(sin(e)*(b*sin(w)-d*sin(e)));

 if (i<0)and(j<0) then begin

 if (w<e)and(q>e)and(q>0)and(q<180)and(w>0)and(w<180)and(e>0)

and(e<180) then begin

 for j:=1 to trunc(900/a) do begin

 for i:=1 to trunc(600/(d*sin(e))) do begin

 x0:=xx+0;y0:=yy+0;

 x1:=xx+a;y1:=yy;

 x2:=xx+trunc(A+B*COS(W));y2:=yy+trunc(B*SIN(W));

 x4:=xx+trunc(D*COS(E));y4:=yy+trunc(D*SIN(E));

 x3:=xx+trunc(A+D*COS(e));y3:=yy+trunc(d*sin(e));

 x5:=trunc(f*cos(q))+xx;y5:=trunc(f*sin(q))+yy;

 z1:=trunc(f*cos(q)-a)+xx;s1:=trunc(f*sin(q))+yy;

 z2:=trunc(f*cos(q)-a-b*cos(w))+xx;s2:=trunc(f*sin(q)-b*sin(w))+yy;

 z3:=trunc(f*cos(q)-a-d*cos(e))+xx;s3:=trunc(f*sin(q)-d*sin(e))+yy;

 z4:=trunc(f*cos(q)-d*cos(e))+xx;s4:=trunc(f*sin(q)-d*sin(e))+yy;

 xx:=xx+trunc(d*cos(e));yy:=yy+trunc(d*sin(e));

 line(x0,y0,x1,y1);

 line(x1,y1,x2,y2);

 line(x2,y2,x3,y3);

 line(x3,y3,x4,y4);

 line(x4,y4,x5,y5);

 line(x5,y5,x0,y0);

 line(x5,y5,z1,s1);

 line(z1,s1,z2,s2);

 line(z2,s2,z3,s3);

 line(z3,s3,z4,s4);

 line(z4,s4,x0,y0);

 end;

 xx:=t+trunc(a+a-f*cos(q)+b*cos(w));t:=xx;

 yy:=u+trunc(b*sin(w)-f*sin(q));u:=yy;

 end;

 end else begin writeln('vi vveli nevernie parametri');goto 1;end;

 end else begin writeln('vi vveli nevernie parametri');goto 1;end;

 readln;

 2:

 closegraph;

end.

Приложение 2

 

Пример 1.

Vvedite storoni

95 65 75 45

vvedite ugli

120 25 75

 

 

Пример 2.

Vvedite storoni

50 25 38 20

vvedite ugli

110 29 65

 

Приложение 3

 

Программа для построения паркета из пятиугольника.

program dip2;

uses graph;

label 1,2;

var a,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,a12,i,j,xx,yy,b,c,vv,xa, xb,xc, xd, xe,ya,mm,yb,yc,yd,ye,x,y,grv,grm:integer;aa,qq,dd,tt,m1:real; tex:string[1];

begin

 initgraph(grv,grm,'d:\bp\bgi');

 1: writeln('gelaete vvesti parametri?(y/n)');

 readln(tex);

 if tex='n' then goto 2;

 writeln('vvedite');readln(aa,dd,a,b,c);

 aa:=aa*pi/180;dd:=dd*pi/180; tt:=aa+dd-pi; qq:=dd-pi;

 vv:=trunc(a*sin(aa+dd)-b*sin(dd));

 m1:=(a*sin(aa+dd)-b*sin(aa))*(a*sin(aa)-a*sin(dd)-b*sin(-dd+aa));

 mm:= trunc(m1);

 a1:=trunc(b*cos(aa)); a2:=trunc(b*sin(aa)); a3:=trunc(a*cos(tt));

 a4:=trunc(a*sin(tt)); a5:=trunc(c*cos(qq)); a6:=trunc(c*sin(qq));

 a7:=trunc(b*cos(dd));  a8:=trunc(b*sin(dd)); a9:=trunc(c*cos(aa));

 a10:=trunc(c*sin(aa)); a11:=trunc(c*cos(aa));

 a12:=trunc(c*sin(aa));

if (mm<0)and(a>0)and(b>0)and(c>0)and(aa>0)and(aa<180) and(dd>0) and(dd<180) then begin

if (vv<0)and(a2+a4+a6>0) then begin

 x:=-300;y:=0;xx:=x;yy:=y;

 for j:=1 to 20 do begin

 xx:=xx+a+a3+a5+a11; yy:=yy-a4-a6-a12;

 for i:=1 to 10 do begin

 xe:=x; ye:=y;

 xa:=x+a; ya:=y;

 xd:=x+a1; yd:=y-a2;

 xc:=x+a1+a3; yc:=y-a2-a4;

 xb:=x+a1+a3+a5; yb:=y-a2-a4-a6;

line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye);

line(xe,ye,xa,ya);

 xe:=x+a+a1+a3+a5; ye:=y-a2-a4-a6;

 xa:=x+a1+a3+a5; ya:=y-a2-a4-a6;

 xd:=x+a+a3+a5; yd:=y-a4-a6;

 xc:=x+a+a5; yc:=y-a6;

 xb:=x+a; yb:=y;

line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye);

line(xe,ye,xa,ya);

 xe:=x+a1+a3+a5+a7; ye:=y-a2-a4-a6-a8;

 xa:=x+a1+2*a3+a5+a7; ya:=y-a2-2*a4-a6-a8;

 xd:=x+a1+a3+a5; yd:=y-a2-a4-a6;

 xc:=x+a+a1+a3+a5; yc:=y-a2-a4-a6;

 xb:=x+a+a1+a3+a5+a9; yb:=y-a2-a4-a6-a10;

line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye);

line(xe,ye,xa,ya);

 xd:=x+a; yd:=y;

 xc:=x; yc:=y;

 xe:=x+a-a7; ye:=y+a8;

 xa:=x+a-a3-a7; ya:=y+a4+a8;

 xb:=x-a11; yb:=y+a12;

line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye);

line(xe,ye,xa,ya);

 x:=x+a-a1-a3-a7; y:=y+a2+a4+a8;

 xe:=x; ye:=y;

 xa:=x+a; ya:=y;

 xd:=x+a1; yd:=y-a2;

 xc:=x+a1+a3; yc:=y-a2-a4;

 xb:=x+a1+a3+a5; yb:=y-a2-a4-a6;

line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye);

line(xe,ye,xa,ya);

 xe:=x+a+a1+a3+a5; ye:=y-a2-a4-a6;

 xa:=x+a1+a3+a5; ya:=y-a2-a4-a6;

 xd:=x+a+a3+a5; yd:=y-a4-a6;

 xc:=x+a+a5; yc:=y-a6;

 xb:=x+a; yb:=y;

line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye);

line(xe,ye,xa,ya);

 xe:=x+a1+a3+a5+a7; ye:=y-a2-a4-a6-a8;

 xa:=x+a1+2*a3+a5+a7; ya:=y-a2-2*a4-a6-a8;

 xd:=x+a1+a3+a5; yd:=y-a2-a4-a6;

 xc:=x+a+a1+a3+a5; yc:=y-a2-a4-a6;

 xb:=x+a+a1+a3+a5+a9; yb:=y-a2-a4-a6-a10;

line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye);

line(xe,ye,xa,ya);

end;

x:=xx; y:=yy;

end;

 end else begin writeln('oshibka 1');goto 1;end;

 end else begin writeln('oshibka 2');goto 1;end;

 readln;

 2:

 closegraph;end.

Приложение 4

 

Пример 1.

vvedite

75 120 75 45 25

 

 

Пример 2.

vvedite

85 150 75 85 95