Сглаживание наблюдений скалярных диагностических параметров

Для реализации процедур диагностирования зарегистрированные данные должны быть предварительно сглажены. Основные задачи сглаживания:

v Повышение точности и достоверности экспериментальных данных;

v Исключение сбоев, обусловленных записывающей аппаратурой;

v Восстановление незарегистрированных данных с целью обеспечения непрерывности информационной поддержки эксплуатации АО по техническому состоянию;

v Синхронизация изменений, полученных различными средствами в различные моменты времени;

v Обеспечение информационной избыточности процедур диагностирования;

v Идентификация параметров диагностических моделей по экспериментальным данным.

Методы сглаживания зависят от структуры представления данных. Это может быть скалярный сигнал и вектор параметров. Процедуры диагностирования реализуются на основе комплексной обработки исходных и сглаженных данных. В нашем случае это сглаживание с помощью кубических сплайнов.

Исторически понятие сплайна (рейки) связано с использованием чертежниками тонких реек в качестве лекал для проведения плавных кривых через заданные точки. В монографии математическим сплайном названо приближенное представление деформированной оси рейки «кусками» кубической параболы с определенными разрывами производных в точках перегиба.

Математический сплайн простейшего вида непрерывен и имеет непрерывные первую и вторую производные, а третья производная может претерпевать разрыв в точках соединения.

Задача сплайн-восстановления функциональной зависимости  по экспериментальным данным  в точках  состоит в получении оценки  как в узлах измерений , так и между ними. На практике, кроме восстановления самой функции, требуется найти оценки ее производных .

Будем полагать, что узлы упорядочены, т.е.

.                                                                  (%69)

Функция  называется кубическим сплайном с узлами (%69) если:

1) на каждом интервале  есть кубический полином, т.е.\

;                               (%70)

2)    – дважды непрерывно дифференцируема на интервале .

Кубический сплайн называется интерполяционным, если

.                                                                            (%71)

Для построения кубического интерполяционного сплайна необходимо знать  коэффициентов . Из условия непрерывности ,  во всех внутренних узлах  получаем  равенств. Кроме того, имеется  равенств интерполяции (%71). Таким образом, имеется  равенств для нахождения неизвестных коэффициентов. Недостающие два равенства задаются дополнительно в крайних узлах  и называются краевыми условиями.

Методика построения интерполяционного кубического сплайна основана на определении сначала вторых производных в узлах (%69), а затем коэффициентов . Производные по  для выражения (%70) имеют вид:

;                                               (%72)

.                                                                  (%73)

Полученное выражение для начальной и конечной точек интервала
 будет иметь вид:

;                                                                                (%74)

;                                      (%75)

Из уравнений (%73) – (%75) находим выражение для

.                                        (%76)

По аналогии с упругими статическими системами вторые производные сплайна в узлах  называют моментами и обозначают . С учетом таких обозначений и соотношений (%72) – (%76) коэффициенты полинома (%69) будут иметь вид:

;

;

;

Для вычисления коэффициентов необходимо определить моменты  и ; . Выражения для указанных моментов могут быть получены на основе преобразований уравнения (%76). Путем интегрирования указанного уравнения определяются функции .