Уравнение прямой на плоскости

Системы уравнений с матрицами

 

Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.

Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.

Ранг матрицы.

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Ранг единичной матрицы_nm равен n.

Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.

При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.

При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.

Лекция 5.

 

.

 

Замечание: 1) Нет решения

2) . n-число неизвестных

а) r=n – одно решение

б) r<n – бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров.

 

Векторная алгебра

Проекция вектора на ось:

Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A^’B^’| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой.

 

,

.

Скалярное произведение векторов

 

.  

 

Признак перпендикулярности .

Векторное произведение векторов

 

; ;

 

Объем пирамиды ;

Смешанное произведение векторов

 

 

 

Если  - углы, которые составляет вектор а с координатными осями, то , откуда следует

 

 

Условие коллинеарности  

ab=0 – перпендикулярность

 - коллинеарность

abc=0 – компланарность

 

Аналитическая геометрия

Плоскость в пространстве

Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве.

 

 -

 

каноническое уравнение (1)

Общее уравнение плоскости

 

, где ,

 

где А, В, С – координаты нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий координаты.

Уравнение плоскости, проходящий через точку  перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид

 

 

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде

 

Уравнение плоскости в отрезках

Нормальное уравнение плоскости , где p – расстояние от начала координат.

Нормирующий множитель

Расстояние от точки до плоскости

 

 

Угол между плоскостями

Условия параллельности и перпендикулярности ;

Уравнение пучка плоскостей:  

Прямые линии в пространстве.

-уравнение прямой

 - параметрическое уравнение прямой.

 - каноническое уравнение прямой.

 

Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки

 

Угол между 2 прямыми

 

Взаимное расположение 2 прямых.

1.  (могут лежать и на одной прямой)

2.  (могут скрещиваться)

3. . Если (3) , то скрещиваются.

 

Взаимное расположение прямой и плоскости

 

1.

2.

3. Угол между прямой и плоскостью

4.

Аналитическая геометрия на плоскости.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Расстояние между 2 точками .

Если заданы точки А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении , т.е. , то .

Уравнение прямой на плоскости

 

Ax+By+C=0;

 

Уравнение прямой в отрезках .

Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки .

Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом к оси Ох ( ):

Расстояние от точки до прямой

 

1.

2.

3.

Окружность

 

Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R

Уравнение окружности с центром в начале координат

Эллипс

 

Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, , чем расстояние между фокусами.

Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F₁ и F₂; 2а – сумма расстояний от точки М до F₁ и F₂ (a – большая полуось эллипса).  - малая полуось эллипса. .

Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид .

Число  называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей . Если , то получается окружность. a=b.

Гипербола

 

Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если M (x;y) – точка гиперболы; F₁, F₂ – фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов , где а – действительная полуось гиперболы.  - мнимая полуось гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы .

Гипербола пересекает ось Ох в точках  и , с осью Оу пересечений нет.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых .

Эксцентриситет гиперболы .

Парабола

 

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение имеет вид .

Эксцентриситет параболы  - отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.