Основные теоремы операционного исчисления

Свертка оригиналов.

Сверткой оригиналов  и  называется функция

.

Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.

Найдем для примера свертку произвольного оригинала  и единичной функции  Имеем .

Так как  при  то

.                   (2.1.1)

 

Теорема 1. Если  и , то

.

∆

Действительно, по определению интеграла Лапласа имеем

Воспользуемся определением свертки:

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

.

Введем вместо t новую переменную . Тогда

что и требовалось доказать. ▲

 

Свойство линейности.

Для любых комплексных постоянных и :

∆

Это свойство вытекает из свойства линейности интеграла.

Домножим равенство  на α:

Так как , то , то есть

Теорема подобия.

 

Для любого постоянного a> :

Умножение аргумента оригинала на положительное число  приводит к делению изображения и его аргумента на это число .

Положим α t = u. Тогда .

Таким образом, при t=0 получаем u=0, при  получаем  и

Теорема запаздывания.

 

 для t > τ >0

Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на e^pt.

 

Теорема смещения.

Для a >0 имеет место соотношение:

∆

Из определения изображения имеем:

Теорема упреждения.

 

При а > 0 имеет место соотношение:

Умножение оригиналов

 

 

Дифференцирование оригинала

 

Если и  – оригиналы и , то

                     (2.7.1)

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь

.

Тогда по теореме 1

.

Отсюда , что и требовалось доказать.

Применив формулу (2.7.1) дважды, получим

и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

Дифференцирование изображения

 

Если , то , то есть умножению оригинала на (- t) соответствует производная от изображения F(p).

 

Обобщение:

Путем последовательного дифференцирования по параметру p равенства  получим:

Интегрирование оригинала

 

Если , то , то есть интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.

Если f(t) принадлежит множеству оригиналов, то и будет принадлежать множеству оригиналов.

Пусть  и . Из  видно, что

1)

2) .

Применим свойство дифференцирования оригинала к , и в силу последних двух равенств получим

,

А отсюда .

Но, по условию теоремы, . Следовательно,  или .

А отсюда и из соотношений  и  следует, что .

 

Интегрирование изображения

 

Если  и  принадлежит множеству оригиналов, то .