Использование предложения Паппа на евклидовой плоскости.

Покажем использование предложения на евклидовой плоскости.

Теорема Паппа: Если А,С,В - три точки на одной прямой, а A’,C’,B’ - на другой, и если три прямые AB’,CA’,BC’ пересекают прямые A’B,C’A,B’C соответственно, то три точки пересечения P,Q,R коллинеарны.

 

 

рис. 1

 

Доказательство: Эта теорема как и теорема Дезарга использует принадлежность точек прямым или прохождение прямых через точки, без измерения длин или углов и даже без какой-либо ссылки на порядок; в каждом множестве из трех коллинеарных точек безразлично, какая из них лежит между двумя другими. (рис. 1, рис. 2)

 

рис. 2   

 

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая. Предположим, что три прямые AB’,CA’,BC’ образуют треугольник UVW.(рис. 3)

 

 

 

рис. 3   

 

 

Применяя теорему Менелая к пяти тройкам точек

íP,A’,Bý, íA,Q,C’ý, íB’,C,Rý, íA,C,Вý, íB’,A’,C’ý,

лежащих на сторонах этого треугольника, мы получаем.

(VP/WP)*(WA’/UA’)*(UB/VB)=1           (VA/WA)*(WC/UC)*(UB/VB)=1

(VB’/WB’)*(WC/UC)*(UR/VR)=1           VB'/WB')*(WA'/UA')*(UC'/VC')=1

(VA/WA)*(WQ/UQ)*(UC’/VC’)=1  

Разделив произведение первых трех соотношений на произведение последних двух, производя сокращение, мы получаем:

                                 (VP/WP)*(WQ/UQ)*(UR/VR)=1

то есть P,Q,R коллинеарны, теорема доказана.

Приложение

№1. Если два треугольника перспективны относительно точки и две пары соответствующих сторон параллельны, то и две оставшиеся стороны параллельны.

Дано: треугольник PRQ и треугольник P’R’Q’ перспективны относительно точки О. QR||Q’R’, PR||P’R’

Доказать что: QP||Q’P’

 

Доказательство:

Так как QR||Q’R’ и RP||R’P’, то

 

(OQ/OQ’)=(OR/OR’)=(OP/OP’) Þ (OQ/OQ’)=(OP/OP’) Þ QP||Q’P’

 

№2.Назовите два треугольника перспективных относительно:

а) точки Р

б) точки Р’

в) точки D

 

 

Ответы: а) треугольники ROQ и EP’F б) треугольники EFP и R’Q’O’ в) треугольники R’RE и Q’QF.

 

№3. Если А,С,Е - три точки на одной прямой, B,D,F- на другой, и если прямые АВ и CD параллельны прямым DE и FA соответственно, то прямые EF||BC.

 

1) АС||BD. Рассмотрим параллелограмм ABDE и AFDC Þ BD=AE и DF=AC. Произведем вычитание BD-DF=BF; AE-AC=CE Þ BF=CE Þ BCEF - параллелограмм Þ EF||BC.

 

 

 

2)

3) ACÇBD=0, так как AB||ED и CD||FA, то (|OA|/|OB|)=(|OE|/|OD|) и (|OC|/|OD|)=(|OA|/|OF|) получаем |OB|*|OE|=|OA|*|OD|=|OC|*|OF| Þ

(|OE|/|OF|)=(|OC|/|OB|) Þ EF||CB.

 

№4. Пусть A,B,D,E,N,M - шесть точек, обладающих тем свойством, что прямые AE,DM,NB пересекаются в одной точке и прямые АМ,DB,NE пересекаются в одной точке. Что можно сказать о прямых AB,DE,NM?

 

 

Решение. Пусть AEÇDMÇNB=C, AMÇDBÇNE=F обозначим () пересечения прямых АВ и DE через L. По теореме Паппа ()LÎMN Þ ABÇDEÇMN=L. Прямые AB,DE,NM пересекаются в одной точке.

 

№5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

AA’ÇBB’ÇCC’=S ?

Решение: Рассмотрим треугольник АВС и треугольник А1В1С1- дезарговые треугольники, то есть треугольники удовлетворяют теореме Дезарга.

 

 

ABÇ А1В1=P¥

BCÇ В1С1=Q¥            

ACÇ А1С1=R¥                               

 

лежат на одной несобственной прямой S¥

по обратной теореме Дезарга прямые, проходящие через соответствующие вершины, пересекаются в одной точке S.

AA’ÇBB’ÇCC’=S.

№6. В евклидовой плоскости в четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой || его диагонали. Доказать, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.

 

Решение: треугольники NCK и AMP дезарговые треугольники по прямой теореме Дезарга, соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в ()-ах, лежащих на одной прямой Þ ()F,D,B, то есть () пересечения непараллельных сторон трапеции принадлежат диагонали BD.

№7. В евклидовой плоскости противоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах второго. Доказать, что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.

Требуется доказать, что LNÇMKÇBDÇAC=S

Решение.

 

ACÇLNÇBD - треугольники ALD и СNB - дезарговые треугольники удовлетворяют обратной теореме Дезарга Þ ACÇLNÇBD=S.

Треугольники DKC и BMA - дезарговые треугольники по обратной теореме Дезарга Þ MKÇBDÇAC=S

Получили ACÇBDÇMKÇLN=S.

Оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.

 

№8. В евклидовой плоскости дан треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие - смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке.

Требуется доказать, что ANÇBPÇCM=S.

Решение: Треугольники ABC и NPM - дезарговые треугольники.

 

ABÇNP=Q¥

BCÇMP=R¥                 

ACÇNM=K¥                

 

 

лежат на одной несобственной прямой P¥

по теореме обратной теореме Дезарга NAÇBPÇCM=S.

№9. В треугольнике АВС из его вершин проведены прямые, пересекающиеся в одной () S; A’=ASÇBC, B’=BSÇAC, C’=CSÇAB. Доказать, что точки BCÇB’C’, ACÇA’C’, ABÇA’B’ лежат на одной прямой.

Решение.

 

Обозначим () пересечения сторон BCÇB’C’, ACÇA’C’, ABÇA’B’ соответственно P,R,Q. Рассмотрим треугольники АВС и А’В’С’ прямые проходящие через вершины этих треугольников пересекаются в () SÞ () пересечения соответствующих сторон P,R,Q лежат на одной прямой.

№10. В конфигурации Дезарга одну из точек выбрать за дезаргову точку. Найти в этой конфигурации вершины дезарговых треугольников и дезаргову прямую.

 

 

Точка А- дезаргова точка

Треугольники A’RP и SCB - дезарговы треугольники

A’®S          SCÇA’R=C’

R®C           SBÇA’P=B’

P®B            CBÇRP=Q.

Точки C’,B’,QÎS - дезаргова прямая.

№11. Сформулировать в терминах евклидовой геометрии теорему Дезарга для случая:

1) ()S¥ - несобственная (), дезаргова прямая S - собственная.

 

Формулировка теоремы Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой.

2) ()S собственная, прямая S¥ - несобственная.

Формулировка.

Если прямые, походящие через соответствующие вершины двух треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в одной точке и AB||A’B’, B’C||BC, то AC||A’C’.

 

 

3) ()S¥ - несобственная, прямая S¥ - несобственная.

Формулировка.

Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны и AB||A’B’, BC||B’C’, то AC||A’C’.

 

№12. Прямая p лежит в плоскости треугольника АВС; К=ВСÇp, L=ACÇp, M=ABÇp, R=BLÇCM, S=CMÇAK, T=AKÇBL.

Доказать, что прямые AR,BS и CT пересекаются в одной точке.

Требуется доказать, что ARÇBSÇCT=Q

 

 

 

Решение

Треугольники АВС и RST - дезарговы треугольники.

RSÇAB=M

TSÇBC=K       () M,K,LÎз (по условию)

TRÇAC=L

 

 

Таким образом, по теореме обратной теореме Дезарга ARÇBSÇCT=Q.

 

№13. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана ()С не лежащая ни на одной из данных прямых. Построить прямую SC.

Построение.

 

 

 

 

Выбираем произвольно прямую s, () A,A’Îa и ()ВÎb.

1)ABÇs=P,  2)PA’Çb=B’, 3)ACÇs=R,   

4)BCÇs=Q, 5)A’R, B’Q,          6)B’QÇA’R=C’,

7)CC’ искомая прямая.

Доказательство:

Треугольники АВС и А’В’С’ - дезарговы треугольники, прямая s - дезаргова прямая.

ABÇA’B’=P

ACÇA’C’=R             Îs (по построению)

BCÇB’C’=Q

 

 

По обратной теореме Дезарга AA’ÇCC’ÇBB’=S.

№14. Даны две точки P и Q и не проходящая через них прямая c. построить () PQÇC, не проводя PQ.

Анализ: Произвольно выбираем прямую s, ()Q1ÎC,Q

QQ₁Q₂ - трехвершинник, построить РР1Р2 – трехвершинник,P₁ÎC, PQÇP₁Q₁ÇP₂Q₂=S

Обратная теорема Дезарга.

Построение:

1) QQ₁Çs=X

2) PXÇC=P₁

3) Q₁Q₂Çs=Y

4) QQ₂Çs=Z

5) YP₁

6) ZPÇYP₁=P₂

7) P₂Q₂Çc=S  ()S - искомая точка.

 

Доказательство:

Треугольники QQ₁Q₂ и PP₁P₂ - дезарговы.

QQ₂ÇPP₂=Z

QQ₁ÇPP₁=X     ÎS (по построению).

Q₁Q₂ÇP₁P₂=Y

 

 

По обратной теореме Дезарга. PQÇP₁Q₁ÇP₂Q₂=S Þ PQÇc=S искомая точка.

 

№15. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые a||b и точка С, им не принадлежащая. Через () С провести прямую, параллельную а и b.

1) Анализ: Произвольно выбираем прямую s. ()А,А’Îа, ()ВÎb.

Здесь работает обратная теорема Дезарга для случая ()S_¥ - несобственная, прямая s - собственная.

Треугольники АВС и А’В’С’ - построить.

 

 

2)

Q

Построение: 

C

R

1)АВÇs=P       

b

C’

2) A’PÇb=B’                          

c

B

3) ACÇs=R                             

A

D

4) BCÇs=Q

5) A’R, B’Q

A’

B’

6) A’RÇB’Q=C’

7) CC’ - искомая прямая.      

s

3) Доказательство:

Треугольники АВС и А’В’С’- дезарговы

Формулировка обратной теоремы Дезарга.

Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в точках лежащих на одной прямой и АА’||BB’, то СС’||AA’.

По этой теореме СС’- искомая прямая.

 

№18. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию АВ, pÇAD=M, pÇAC=P, qÇBD=N, qÇBC=Q. Доказать, что точка MNÇPQ лежит на прямой АВ.

Требуется доказать, что MNÇPQÇAB=K.

Решение:

Рассмотрим треугольники

МРА и NQB.

МРÇNQ=S_¥, так как p||q. (pÇq=S_¥)

PAÇBQ=C

AMÇBN=D

 

DC||p||q Þ DCÇpÇq=S_¥ Þ C,D,S_¥Î одной прямой по теореме обратной теореме Дезарга MNÇPQÇAB=K.

Тем самым доказали, что точка МNÇPQÎAB.

№17. В евклидовой плоскости даны параллелограмм АВСD, ()РÎCD и прямая l пересекающая стороны АВ и АD. Провести прямую || l.

1) Анализ: Треугольник ANM построен. Построить треугольник СРК. Задача решается с помощью прямой теоремы Дезарга.

 

2) Построение:

1) NP, AC

2) NPÇAC=S

3) MSÇBC=K

4) KP- искомая прямая.

3) Доказательство:

треугольники ANM и CPK - дезарговы, так как ANÇCP=R_¥ (AN||CP), CKÇAM=Q_¥ (CK||AM) то по теореме Дезарга KPÇNM=F_¥ Þ KP||NM.

Список литературы

1. Р. Хартсхорн “Основы проективной геометрии”.-М:Мир,1970.

2. Ефимов     “Высшая геометрия”-:Наука,1971.

3. Франгулов С.А. “Лекции по проективной геометрии”-Л:ЛГПИ,1975.

4. Вахмянина О.А., Измайлова Т.С. “Пособие по проективной геометрии”-Оренбург:ОГПИ,1994.

5. Коксетер С.М. “Новые встречи с геометрией”-М:Нуака,1978

6. Базылев     “Геометрия”-М:Просвещение,1975

7. Потоцкий       “Что изучает проективная геометрия ”-М: Просвещение,1982

8. Певзнер    “Проективная геометрия”-М:Просвещение,1980

9. Измайлова Т.С. Лекционный курс по проективной геометрии.