Вычисление электростатического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

где dq – заряд, сосредоточенный на площади dS; dS – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность Е вектор во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11). Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность Е вектор будето динакова по величине и противоположна по направлению. Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).

 Тогда

 Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток Ф_Е через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к. Для основания цилиндра

 Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

 Внутри поверхности заключен заряд  . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

 ;

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

(2.5.1)

 Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости

6.Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия. Потенциал. Разность потенциалов. Связь между напряженностью и потенциалом. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности.

Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое зарядом q. Пусть в нем перемещается пробный заряд q₀. В любой точке поля на заряд q₀ действует сила

 где  - модуль силы,  - орт радиус-вектора , определяющего положение заряда q₀ относительно заряда q. Так как сила меняется от точки к точке, то работу силы электростатического поля запишем как работу переменной силы:

Ввиду того, что рассматривали перемещение заряда из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории, можно сделать вывод, что работа по перемещению точечного заряда в электростатическом поле не зависит от формы пути, а определяется лишь начальным и конечным положением заряда. Это свидетельствует о том, что электростатическое поле является потенциальным, а сила Кулона – консервативной силой. Работа по перемещению заряда в таком поле по замкнутому пути всегда рвана нулю.

                                                             - проекция  на направление контура ℓ.

Учтем, что работа по замкнутому пути равно нулю

                                                              - ЦИРКУЛЯЦИЯ вектора напряженности.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля, взятая по произвольному замкнутому контуру всегда равна нулю. Поскольку электростатическое поле является потенциальным работа по перемещению заряда в таком поле может быть представлена, как разность потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках пути. (Работа равна уменьшению потенциальной энергии, или изменению потенциальной энергии, взятому со знаком минус.)

Постоянную определяют из условия, что при удалении заряда q₀ на бесконечность его потенциальная энергия должна быть равна нулю.

Различные пробные заряды q_0i , помещенные в данную точку поля будут обладать в этой точке различными потенциальными энергиями:

Отношение W_{пот i} к величине пробного заряда q_0i, помещенного в данную точку поля является величиной постоянной для данной точки поля для всех пробных зарядов. Это отношение называется ПОТЕНЦИАЛОМ. ПОТЕНЦИАЛ – энергетическая характеристика электрического поля. ПОТЕНЦИАЛ численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

 Работу по перемещению заряда можно представить в виде .

Потенциал измеряется в Вольтах

ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ называются поверхности равного потенциала (φ = const). Работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Связь между напряженностью Е вектор и потенциалом φ можно найти, исходя из того, что работу по перемещению заряда q на элементарном отрезке d? можно представить как

С другой стороны                                                           

 - градиент потенциала.

Напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому со знаком минус. Градиент потенциала показывает, как меняется потенциал на единицу длины. Градиент перпендикулярен функции и направлен в сторону возрастания функции. Следовательно, вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания потенциала.

Рассмотрим поле, создаваемое системой N точечных зарядов q₁, q₂, … q_N. Расстояния от зарядов до данной точки поля равны r₁, r₂, … r_N. Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q₀, будет равна алгебраической сумме работ сил, каждого заряда в отдельности.

 где

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, определяется как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых в этой же точке каждым зарядом в отдельности.