Описание системы с отказами

Для решения поставленной задачи первоначально необходимо спроектировать формирователь рассогласования и блок оценки рассогласований.

Для этого все полученные модели рассмотрим в совокупности и получим общее описание системы с отказами.

Рис. 3.3. Система и воздействующие на нее отказы

На вход исполнительного механизма поступает известный сигнал от контроллера u(t). Сигнал u_R(t) - управляющее воздействие от исполнительного механизма, поступает на вход объекта управления. Выходной сигнал объекта управления y_R(t) непосредственно не доступен и измеряется с помощью датчиков.

Таким образом для целей диагностики известными принимаются входные и выходные векторы системы:

u(t) – известный вход исполнительного механизма;

y(t) – измеряемый датчиками выход системы. 

С учетом рассмотренных моделей элементов системы (см. (3.9) – объект управления, (3.11) – исполнительный механизм, (3.12), (3.13), (3.14) - датчики) получим следующее математическое описание системы в переменных состояния:

(3.28)

где , - входной вектор системы – сигнал управления, поступающий с контроллера на вход исполнительного механизма,

 - выходной вектор системы,

 - возмущающее воздействие.

В качестве возмущающего воздействия рассматривается поток жидкости поступающий в первый бак:

d(t)= Q₁(t), м³/час.                               (3.29)

Вектор состояния системы описывается следующим образом:

,                                     (3.30)

где h₂(t) – уровень во втором баке, м;

h₁(t) – уровень в первом баке, м;

х(t) – положение задвижки, м.

Как указывалось выше, в соответствии с выбранным методом формирования рассогласования необходимо использование линейной модели системы. Поэтому, выполним линеаризацию системы (3.26) в какой-либо рабочей точке.

Для разности уровней в баках h₁-h₂ = 0.16357,м с помощью программы Vissim 5.0, была получена следующая линейная модель:

                          (3.31)

где , , , .

Данная линейная модель, содержащая внешнее возмущение может быть использована при проектировании рассогласований на основе наблюдателей при неизвестном входе. При использовании наблюдателей состояния необходимо использовать описание системы в форме, не содержащей неизвестных составляющих. В этом случае будем полагать, что поток жидкости, поступающий в первый бак является известной величиной, входящей в вектор управления. Тогда линейная система будет иметь следующий вид:

                              (3.32)

где, , . Входной вектор системы содержит сигнал управления с контроллера – u_k(t) и поток Q₁(t):

.                             (3.33)

Когда в системе действуют все рассматриваемые отказы датчиков, компонентов и исполнительного механизма, ее модель (3.29) может быть представлена следующим образом:

       (3.34)

где  - вектор отказа датчиков, ,  - векторы отказов компонентов системы, описывающие утечку в баке и отказ задвижки соответственно,  - вектор отказа исполнительного механизма.

Рассмотрим математическое описание векторов, введенных в систему отказов.

Отказы датчиков. В соответствии с уравнением (3.19) датчики подвержены мультипликативным отказам, при которых измерение становится , а i-ая составляющая вектора отказов может быть переписана так = .

Таким образом вектор отказов имеет вид:

,                          (3.35)

где величины отказов δ_si для датчиков определяются по формулам (3.20), (3.21):

δ_s1={-1…1}, δ_s3= α∙t.

Отказы компонентов системы. В данном случае в качестве отказа компонентов системы рассматриваются протечка в баке 1 и отказ задвижки. В результате этих отказов нарушаются динамические отношения в системе: независимо от входного потока жидкости Q₁ и положения задвижки х в установившемся режиме происходит изменение уровней жидкости в баках. Вектора отказов компонентов системы в соответствии с формулами (3.22)-(2.25) могут быть представлены следующим образом:

;            (3.36)

.                           (3.37)

Отказ исполнительного механизма. Отказ исполнительного механизма, моделируемый в соответствии с уравнением (3.10), связан с изменением параметров системы, и, следовательно, является мультипликативным. Данный отказ может быть описан следующим образом:

.                            (3.38)

Система со всеми отказами может быть описана с помощью общего вектора отказов f(t):

          (3.39)

где вектор отказов и матрицы распределения отказов имеют следующий вид:

,

, .

Запишем данную систему с отказами с помощью передаточных функций:

,                 (3.40)

где

                            (3.41)

Получим численные значения данных передаточных матриц для рассматриваемой линеаризованной системы с отказами (4.96):

,                             (3.42)

где ;

;

;

;

;

.

,           (3.43)

где ;

;

;

.