Решение задач с применением данных неравенств

Неравенство Йенсена

Задача:

Пусть a₁,…, a_n > 0, . Доказать .

 

Решение:

Записываем неравенство Йенсена для f(x)=x², m_i=n. Получаем:

 

, , ,

 

что и требовалось доказать.

Неравенство Коши-Буняковского

Задача:

Пусть a+b+c=1. Доказать, что .

Решение:

Из неравенства Коши-Буняковского имеем

 

.

 

А отсюда имеем, что .

Неравенство Коши

Задача:

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна единице. Доказать, что

 

(1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8(1-a)(1-b)(1-c).

 

Решение:

Поскольку a+b+c=1, то 1+a= (1-b)+(1- c). Используя неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим , получаем

 

.

 

Аналогично

 

,

.

 

Перемножая все три неравенства, получаем искомое неравенство.

Неравенство Бернулли

Задача:

Решить уравнение

 

.

 

Решение:

К каждому слагаемому левой части уравнения применяем неравенство Бернулли, тогда

 

,

 

причем равенство возможно лишь при , т.е. x=±1. Следовательно, x=±1 – корни уравнения.

Весовое (общее) неравенство Коши

Задача 1:

Для действительных положительных чисел a, b доказать неравенство .

Решение:

По весовому неравенству Коши ( ), имеем

 

.

 

 Для завершения доказательства осталось учесть очевидное неравенство . Равенство достигается при a=b.

Задача 2:

Для произвольных a,b≥0 доказать неравенство

 

(1).

 

Решение:

По весовому неравенству Коши имеем, что

 

.

 

Добавляя к указанному неравенству аналогичное

 

 

получаем

 

,

 

что и требовалось доказать. Равенство в (1) достигается при a=b.

Понятно, что решение этой задачи состоит из двух ключевых идей. Первая – это неравенство (2). Вторая – переход от неравенства (2) к неравенству (1).

Что касается неравенства (2), то пока ещё не понятно, как можно было «угадать», что для решения задачи надо было использовать неравенство Коши именно с такими весовыми коэффициентами m₁=7, m₂=4, m₃=1.

Покажем, что эти коэффициенты можно найти (именно так они и были найдены) с помощью стандартной процедуры: «метода неопределённых коэффициентов». Неравенство (2) будем искать из таких соображений. Рассмотрим весовое неравенство Коши

 

. (4)

 

Подберём весовые коэффициенты m₁, m₂, m₃ так, чтобы в правой части неравенства (4) получить a³b. Для этого достаточно решить систему

 

 (5)

 

Кроме этого, если к (4) добавить аналогичное неравенство (в решении задачи это было неравенство (3))

 

, (6)

 

то получим

 

. (7)

 

Следовательно, чтобы неравенство (7) совпало с неравенством в задаче, к системе (5) надо прибавить еще два равенства

 

                                 (8)

 

Решая систему (8), имеем m₁=7 m₃, m₂=4 m₃. При таком подборе m₁ , m₂ , m₃ неравенство (4) становится неравенством (2), неравенство (6) – неравенством (3), а неравенство (7) – неравенством (1).

Подводя итоги сказанному, мы видим, что для доказательства неравенства типа (1) записываем общее весовое неравенство Коши с неопределенными весовыми коэффициентами, где слева стоят все слагаемые левой части, а справа – одно слагаемое правой части искомого неравенства. Подбираем неопределенные коэффициенты (путем решения соответствующей системы равенств) так, чтобы после симметризации весового неравенства найти решение задачи.

 

Сборник задач

 

Упражнение 1. Неравенство Йенсена:

1.Докажите неравенство , (подсказка: ).

2.Докажите неравенство , где .

3.Докажите неравенство , при .

Упражнение 2. Неравенство Коши-Буняковского:

1.Доказать, что , где a,b,c – стороны треугольника; h_a, h_b, h_c – высоты треугольника, опущенные на эти стороны; S – площадь треугольника.

2.Доказать, что , .

3.Доказать, что , если .

Упражнение 3. Неравенство Коши:

1.Для неотрицательных a, b, c выполняется условие a²+b²+c²=1. Доказать, что .

2.Дано: a, b, c≥0, a+b+c=1. Доказать неравенство: .

3.Доказать: .

4.Дано: x, y, z>0, xyz=1. Доказать .

Упражнение 4. Неравенство Бернулли:

1.Решить уравнение: .

2.Решить уравнение: .

3.Решить уравнение: .

Упражнение 5. Весовое (общее) неравенство Коши:

1.Доказать неравенство , если .

2.Доказать неравенство: .

3.Доказать неравенство: .

 

Тесты

 

1. Какая зависимость между коэффициентами α_i в неравенстве Йенсена

 

?

 

а) их произведение равно единице

б) их сумма равна единице

в) они равны между собой

г) никакой

2. Как доказать неравенство Коши-Буняковского?

а) доказать неравенство Йенсена для функции

б) применить неравенство Коши для n чисел

в) доказать методом математической индукции

г) путем алгебраических преобразований

3. Когда достигается равенство в неравенстве Коши?

а) когда сумма всех чисел равна их количеству

б) когда их произведение равно единице

в) когда все числа равны между собой

г) никогда

4. В неравенстве Бернулли x – переменная – может быть…

а) любым числом

б) строго меньше нуля

в) строго больше нуля

г) строго больше минус единицы

5. В каком случае весовое неравенство Коши превращается в классическое неравенство Коши?

а) когда все переменные равны между собой

б) когда все весовые коэффициенты равны между собой

в) когда произведение весовых коэффициентов равно единице

г) когда сумма весовых коэффициентов равна единице

6. С помощью какого неравенства лучше доказывать неравенство

 

?

 

а) с помощью неравенства Коши

б) с помощью неравенства Бернулли

в) с помощью неравенства Йенсена

г) с помощью неравенства Коши-Буняковского

7. Какую надо применить функцию в неравенстве Йенсена, чтобы доказать

 

?

 

а)

б)

в)

г)

8. Чему равны весовые коэффициенты в неравенстве ?

а)

б)

в)

г)

9. Какое неравенство доказывается с помощью неравенства Коши-Буняковского?

 

а)

б)

в)

г) .