генеральной совокупности по критерию Пирсона.

Статистические гипотезы

Пусть из генеральной совокупности получена некоторая выборка. Анализируя эту выборку, мы предполагаем, что генеральная совокупность может обладать некоторым свойством (выдвигаем гипотезу).

Ошибки первого и второго рода.

Так как мы не имеем возможности анализировать генеральную совокупность, мы можем сделать ошибку. Допустим, что генеральная совокупность имеет некоторое свойство, а мы утверждаем, что такого свойства нет. Отказ от гипотезы в случае, когда она на самом деле верна, называется ошибкой первого рода. Наоборот, если генеральная совокупность не имеет некоторого свойства, а мы утверждаем, что такое свойство есть, то мы принимаем неверную гипотезу. Это называется ошибкой второго рода.

Вероятности ошибок первого и второго рода не равны 0. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости. При построении методов проверки гипотез стараются, чтобы она была не очень большой (0,1; 0,05; 0,01). Вероятность, что не будет допущена ошибка второго рода, называется мощностью критерия.

Критерий проверки нулевой гипотезы.

Критическая область.

Основной принцип проверки статистических гипотез – если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают,  принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Правосторонняя критическая область

Определяется неравенством , где . Для отыскания правосторонней критической области достаточно найти критическую точку.

Левосторонняя и двух сторонняя критические области.

Проверка гипотезы о нормальном распределении

генеральной совокупности по критерию Пирсона.

Пусть мы получили выборку, по виду которой мы имеем основание предполагать, что случайная величина распределена нормально.

По выборке вычислим  и . Сформулируем гипотезу: случайная величина распределена нормально и зависит от параметров . Для проверки этой гипотезы вычислим, какие частоты должна иметь нормально распределенная случайная величина.

Теоретические частоты .

Здесь  - объем выборки,  - шаг, , .

Для оценки насколько частоты, полученные в выборке, отличаются от теоретических частот, найдем следующую величину.

Теперь, необходимо сравнить  с критическим значением , которое зависит от уровня значимости  и числа степеней свободы , где  - число групп выборки.

Если , то гипотеза о нормальном распределении принимается.

Если , то гипотеза о нормальном распределении отвергается.

 

Задача. Проверить на уровне значимости  гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если получена следующая выборка.

	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9	2,1	2,3
	6	9	26	25	30	26	21	24	20	8	5

Решение.

0,3	-1,934	0,0610	4,88
0,5	-1,534	0,1230	9,84
0,7	-1,134	0,2100	16,8
0,9	-0,734	0,3050	24,4
1,1	-0,334	0,3775	30,2
1,3	0,066	0,3981	31,848
1,5	0,466	0,3585	28,68
1,7	0,866	0,2750	22
1,9	1,266	0,1800	14,4
2,1	1,666	0,1000	8
2,3	2,066	0,0472	3,776

 

6	4,88	1,12	1,2544	0,257
9	9,84	-0,84	0,7056	0,072
26	16,8	9,2	84,64	5,038
25	24,4	0,6	0,36	0,015
30	30,2	-0,2	0,04	0,0013
26	31,848	-5,848	34,199	1,074
21	28,68	-7,68	58,98	2,056
24	22	2	4	0,182
20	14,4	5,6	31,36	2,178
8	8	0	0	0
5	3,776	1,224	1,498	0,397

                                                         

                   

Гипотеза о нормальном распределении генеральной средней принимается, так как