Расчет собственной концентрации электронов и дырок

Содержание

Задание

Обозначение основных величин

Основная часть

1. Расчет собственной концентрации электронов и дырок

2. Расчет контактной разности потенциалов

3. Расчет толщины слоя объемного заряда

4. Расчет барьерной емкости

Список используемой литературы

 

Задание

 

1. Вывести выражение для емкости резкого p-n перехода в случае полностью ионизированных примесей

2. Рассчитать величину барьерной емкости резкого p-n перехода при 300 К и напряжении V. Считать что примеси полностью истощены, а собственная проводимость еще очень мала.

3. Построить график зависимости барьерной емкости от температуры.

4. Составить программу вычисления значений барьерной емкости для графика.

 

Полупроводник	Ge
V ,В	0
Nd  ,см	1,0 10
Na ,см	1,0 10
S ,мм	0,15

 

Обозначение основных величин

 

DE – ширина запрещенной зоны.

 

[DE] =1,8 10 Дж=1,13 эВ.

 

e – электрическая постоянная.

 

e =8,86 10 .

 

 – подвижность электронов.

[ ]=0,14 м /(В с)

– подвижность дырок.

 

[ ]=0,05 м /(В с)

 

m – эффективная масса электрона.

 

m =0,33 m =0,33 9,1 10 =3,003 10 кг

 

m – эффективная масса дырки.

 

m =0,55 m =0,55 9,1 10 =5,005 10 кг

 

m – масса покоя электрона.

 

m =9,1 10 кг.

 

– время релаксации электрона.

=2 10 с.

– время релаксации дырки.

 

=10 с.

 

S – площадь p-n перехода.

[S]= 10 мм

n – собственная концентрация электронов.

[n ]=м

p – собственная концентрация дырок.

[p ]=м

N – эффективное число состояний в зоне проводимости, приведенное ко дну зоны.

[N ]=м

N – эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны.

[N ]=м

k – константа Больцмана.

k = 1,38 10 .

Т – температура.

[T]=K.

- число Пи.

=3,14.

h – константа Планка.

 

h = 6,63 10 Дж с.

 

V –контактная разность потенциалов.

[V ]=B.

j – потенциальный барьер.

[j ]=Дж или эВ.

q – заряд электрона.

 

q=1,6 10 Кл.

n – концентрация донорных атомов в n-области.

[n ]=[N ]=2,0 10 м

 

p – концентрация акцепторных атомов в p-области.

 

[p ]=[N ]=9,0 10 м

 

e – диэлектрическая проницаемость.

e=15,4

d – толщина слоя объемного заряда.

[d]=м.

N – концентрация акцепторов.

 

[N ]=1,0 10 см

 

N – концентрация доноров.

 

[N ]=1,0 10 см

 

V – напряжение.

[V]=0 В.

C – барьерная емкость.

[C ]=Ф.

– удельная барьерная емкость.

 

[ ]= Ф/м

m – уровень Ферми.

[m ]=Дж или эВ.

Расчет собственной концентрации электронов и дырок

        Е        Е+dЕ

        

    Зона проводимости

                            Е

                           

0 Е

 

- m    

 

Е

 

                        -m¢

Е

Валентная зона.

Рис.1.Положение уровня Ферми в невырожденном полупроводнике.

 

На рис. 1 показана зонная структура невырожденного полупроводника. За нулевой уровень отсчета энергии принимают обычно дно зоны проводимости Е . Так как для невырожденного газа уровень Ферми m должен располагаться ниже этого уровня, т.е. в запрещенной зоне, то m является величиной отрицательной (-m >>kT). При температуре Т, отличной от абсолютного нуля, в зоне проводимости находятся электроны, в валентной зоне – дырки. Обозначим их концентрацию соответственно через n и p. Выделим около дна зоны проводимости узкий интервал энергий dЕ, заключенный между Е и Е+dЕ. Так как электронный газ в полупроводнике является невырожденным, то число электронов dn, заполняющих интервал энергии dЕ (в расчете на единицу объема полупроводника), можно определить, воспользовавшись формулой :

 

N(E)dE= (2m) e E dE

dn= (2m ) e e E dE

 

где m – эффективная масса электронов, располагающихся у дна зоны проводимости.

Обозначим расстояние от дна зоны проводимости до уровня Ферми через -m, а от уровня Ферми до потолка валентной зоны через -m¢. Из рис. 1 видно, что

 

m+m¢=-E ,

m¢=-(Е +m)

где Е ( Е) - ширина запрещенной зоны.

E =Е +bТ

 

Полное число электронов n, находящихся при температуре Т в зоне проводимости, получим, интегрируя (1.2) по всем энергиям зоны проводимости, т.е. в пределах от 0 до Е :

n=4

 

Так как с ростом Е функция exp(-E/kT) спадает очень быстро, то верхний предел можно заменить на бесконечность:

n=4

 

Вычисление этого интеграла приводит к следующему результату:

 

n=2 exp                             (1.5)

Введем обозначение

 

N =2(2 m kT/h )                     (1.6)

 

Тогда (1.5) примет следующий вид:

 

n=N exp( /kT)                            (1.7)

 

Множитель N в (1.7) называют эффективным числом состояний в зоне проводимости, приведенным ко дну зоны. Смысл этого числа состоит в следующем. Если с дном зоны проводимости, для которой Е=0, совместить N состояний, то, умножив это число на вероятность заполнения дна зоны, равную f (0)=exp( /kT), получим концентрацию электронов в этой зоне.

Подобный расчет, проведенный для дырок, возникающих в валентной зоне, приводит к выражению:

 

p=2 exp =N exp = N exp           (1.8)

 

где

N =2                              (1.9)

 

– эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны.

Из формул (1.7) и (1.8) следует, что концентрация свободных носителей заряда в данной зоне определяется расстоянием этой зоны от уровня Ферми: чем больше это расстояние, тем ниже концентрация носителей, так как m и m¢ отрицательны.

В собственных полупроводниках концентрация электронов в зоне проводимости n равна концентрации дырок в валентной зоне p , так как

каждый электрон, переходящий в зону проводимости, «оставляет» в валентной зоне после своего ухода дырку. Приравнивая правые части соотношения (1.5) и (1.8), находим

 

2 exp =2 exp

Решая это уравнение относительно m, получаем

 

m = - + kT ln                               (1.10)

 

Подставив m из (1.10) в (1.5) и (1.7), получим

 

n =p =2 exp =(N N ) exp (1.11)

Из формулы (6.12) видно, что равновесная концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике определяется шириной запрещенной зоны и температурой. Причем зависимость n и p от этих параметров является очень резкой.

Рассчитаем собственную концентрацию электронов и дырок при Т=300К.

 

E_g=(0,782-3,9 10 300)1,6 10^-19 =1,064 10^-19 Дж

N =2(2 m kT/h ) =2 =2 = =2 =4,7 10 (см )

N =2 =2 =2 =10,2 10 (см )

n =p =(N N ) exp = =

6,92 10 2 10 =13,8 10 (см )