Исследование формы поверхности методом сечений

 

Проведём исследование графика уравнения (4.7) методом сечения плоскостями.

Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Y=h. Эти линии определяются системой уравнений:

 

Следовательно, уравнения проекций линий  на плоскость ZO ' X имеют вид:

 

:

 

Рассмотрим три случая:

Если h + >0, h > , запишем полученное уравнение в виде:

 

                                (4.8)

 

 Уравнение (4.8) задаёт гиперболы с центрами в точках (0, h ,0).

Полуоси гипербол:

a =  - действительная полуось, b = - мнимая полуось, увеличиваются с увеличением h. При различных значениях h получим семейство соответствующих гипербол:

 

h = 1      a= ; b= ;

h=2        a= ; b= ;

h=3        a= ; b= ;

 

Изобразим данные гиперболы на рисунке:

 

Если h + =0, h = , запишем полученное уравнение в виде:

 

или

 

Данное уравнение задаёт две пересекающиеся прямые. Изобразим их на рисунке:

 

 

Если h + < 0, h< , запишем полученное уравнение в виде:

 

 

Данное уравнение задаёт сопряжённые гиперболы с центрами в точке (0, h, 0).

Полуоси гипербол:

a= - действительная полуось, b= - мнимая полуось, увеличиваются с увеличением | h |.

При различных значениях h получаем семейство соответствующих гипербол:

 

h=-1      a= ; b= ;

h=-2      a= ; b= ;

h=-3      a= ; b= ;

 

Изобразим данные гиперболы на рисунке:

 

Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Z=h. Эти линии определяются системой уравнений:

 

 

Следовательно, уравнения проекций линий  на плоскость XO ' Y имеют вид:

 

:                             (4.9)

 

Уравнение (4.9) задаёт параболы, с вершинами в точках V(0, , h) и параметром

p= . При различных h получим семейство соответствующих парабол:

 

h = ±1             :

h = ±2             :

h = ±3             :

 

Изобразим данные параболы на рисунке:

 

Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями X=h. Эти линии определяются системой уравнений:

 

 

Следовательно, уравнения проекций линий  на плоскость YO ' Z имеют вид:

 

                                        (4.10)

 

Уравнение (4.10) задаёт параболы, с вершинами в V(h, ,0) и параметром p= . При различных h получаем семейство соответствующих парабол.

 

h = ±1             :

h = ±2             :

h = ±3    :

 

Изобразим данные параболы на рисунке:

 

Графики уравнения поверхности

 

Изобразим поверхность второго порядка в общеалгебраической и канонической системе координат.

График в общеалгебраической системе координат:

 

График в канонической системе координат:

 

Вывод

 

Исследовав каноническое уравнение (4.7) гиперболического параболоида, отметим следующее:

1. Оси O'Z и O'X являются осями симметрии поверхности. Центра симметрии у поверхности нет.

2. Рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Y = h, в сечениях получаем:

h >  - гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Z

h =  - две пересекающиеся прямые

h <  - сопряжённые гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Y

3. Рассекая поверхность плоскостями Z = h и X = h, в сечениях получаем параболы, с ветвями, направленными вниз (Z = h) или вверх (X = h).

4. Поверхность гиперболического параболоида бесконечна в направлении всех трёх координатных осей.

Список литературы

 

1. Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997.

2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1974.