Основные определения и используемые результаты

КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР

 

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-43

Селюкова Н.В.

 

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

 

 

Гомель 2004

Содержание

Введение

1. Основные определения, обозначения и используемые результаты

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства

Список литературы

Введение

 

Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах - это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли --- это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.

Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.

1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты.

2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ , касающееся свойств централизаторов конгруэнций.

3 является основным. На основе введенного здесь понятия --- конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в  (теорема(3)).

 

Основные определения и используемые результаты

 

Определение 1.1 Пусть  --- некоторое непустое множество и пусть , отображение -ой декартовой степени  в себя, тогда  называют -арной алгебраической операцией.

Определение 1.2 Универсальной алгеброй называют систему  состоящую из некоторого множества  с заданной на нем некоторой совокупностью операций .

Определение 1.3 Пусть  --- некоторая универсальная алгебра и  ( ), тогда  называют подалгеброй универсальной алгебры , если  замкнута относительно операций из .

• Для любой операции , где  и .

• Для любой операции  элемент  фиксируемый этой операцией в  принадлежит .

Определение 1.4 Всякое подмножество  называется бинарным отношением на .

Определение 1.5 Бинарное отношение называется эквивалентностью, если оно:

• рефлексивно      

• транзитивно  и

• симметрично

Определение 1.6 Пусть  некоторая эквивалентность на , тогда через  обозначают множество . Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности  содержащий элемент . Множество всех таких классов разбиения обозначают через  и называют фактормножеством множества  по эквивалентности .

Определим -арную операцию на фактормножестве  следующим образом:

                                 

                            

Определение 1.7 Эквивалентность  на алгебре  называется ее конгруэнцией на , если выполняется следующее условие:

Для любой операции  для любых элементов  таких, что  имеет место .

Определение 1.8 Если  и  --- конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию  на алгебре  назовем фактором на .

 тогда и только тогда, когда .

 или  или 1 --- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .

Лемма 1.1 (Цорна). Если любая цепь частично упорядоченного множества  содержит максимальные элементы, то и само множество  содержит максимальные элементы.

Определение 1.9 Пусть  --- бинарное отношение на множестве . Это отношение называют частичным порядком на , если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.

Определение 1.10 Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством.

 

Теорема Мальцев А.И. Конгруэнции на универсальной алгебре  перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор , что для любых элементов  выполняется равенство . В этом случае оператор  называется мальцевским.

 

Определение 1.11 Алгебра  называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций , называемый центральным, что  для любого .

Определение 1.12 Подалгебра алгебры  называется собственной, если она отлична от самой алгебры .

Определение 1.13 Подалгебра  универсальной алгебры  называется нормальной в , если  является смежным классом по некоторой конгруэнции  алгебры .

Определение 1.14 Пусть  и  --- универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение  называется гомоморфизмом, если

1)  и  имеет место ;

2) , где  и  элементы фиксируемой операцией  в алгебрах  и  соответственно.

Определение 1.15 Гомоморфизм  называется изоморфизмом между  и , если обратное к нему соответствие  также является гомоморфизмом.

 

Теорема Первая теорема об изоморфизмах Пусть  - гомоморфизм,  --- конгруэнция, тогда .

 

Теорема Вторая теорема об изоморфизмах Пусть  --- есть -алгебра,  --- подалгебра алгебры  и  --- конгруэнция на . Тогда  является подалгеброй алгебры ,  --- конгруэнцией на  и .

 

Теорема Третья теорема об изоморфизмах Пусть  --- есть -алгебра и  и  --- такие конгруэнции на , что . Тогда существует такой единственный гомоморфизм , что . Если , то  является конгруэнцией на  и  индуцирует такой изоморфизм .