Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп

Представление  группы  называется унитарным, если для всех  матрица  является унитарной, т.е. . Здесь  обозначает матрицу, транспонированную к , где , а  – величина, комплексно – сопряженная к . В этом параграфе мы покажем, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.

Матрица  называется эрмитовой, если , и положительно определенной, если  для каждого ненулевого столбца . Следующая лемма тривиальна.

Лемма 2.1. Пусть  – произвольная невырожденная матрица. Тогда – положительно определенная эрмитова матрица. Кроме того, сумма положительно определенных эрмитовых матриц также является положительно определенной эрмитовой матрицей.

Лемма 2.2. Для любой положительно определенной эрмитовой матрицы  найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что .

Доказательство. Пусть . Тогда  и . Пусть

.

Положим

Тогда

и  – положительно определенная эрмитова матрица. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться индукцией по порядку матрицы .

Теорема 2.3. Пусть  – конечная группа. Для каждого представления  группы  найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что  является унитарной матрицей для всех .

Доказательство. Положим

Тогда в силу леммы 2.1  является положительно определенной эрмитовой матрицей. Таким образом, найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что  и поэтому . Так как

то , т.е. ; поэтому – унитарная матрица.

Теорема 2.4. Каждое представление конечной группы вполне приводимо.

Доказательство. Пусть – приводимое представление конечной группы , и пусть  разлагается следующим образом:

В силу предыдущей теоремы существует невырожденная матрица , такая, что  – унитарная матрица. Так как  верхнетреугольная, то  имеет вид

Поскольку , мы получаем

откуда следует, что .

Лемма Шура

Лемма 3.1. (Лемма Шура.) Пусть  и  – неприводимые представления группы  степеней  и  соответсвенно. Пусть  – такая  – матрица, что

Тогда либо

,

либо

 и  невырожденная.

Доказательство. Допустим, что . Покажем, что тогда имеет место . Предположим, что либо , либо  и  вырожденна. Тогда существуют матрицы  и , такие, что

где . Так как , то

где

Таким образом, , если , и , если . В любом случае  или  приводимо, что противоречит условию.

Теорема 3.2. Пусть  – неприводимое представление группы . Пусть  – такая матрица, что  для всех . Тогда , где .

Доказательство. Пусть  – некоторое собственное значение матрицы . Тогда , а, кроме того,

откуда в силу леммы Шура следует, что

Теорема 3.3. Пусть  – абелева группа. Тогда каждое ее неприводимое представление имеет степень 1.

Доказательство. Пусть  – неприводимое представление группы . Поскольку  коммутирует с каждой матрицей , из предыдущей теоремы следует, что , где . Поскольку  неприводимо, отсюда вытекает, что его степень равна 1.