Поток векторного поля через поверхность.

 

По определению

 

.

 

Каждое слагаемое суммы

 

 (*)

 

может быть истолковано механически следующим образом: это произведение равно объему цилиндра с основанием ,и высотой . Если вектор F есть скорость жидкости, протекающей через поверхность а, то произведение (*) равно количеству жидкости, протекающей через площадку _; за единицу времени в направлении вектора  (Рис. 3).

Выражение  дает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность  в положительном направлении, если под вектором F подразумевать вектор скорости течения жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл называется потоком векторного поля F через поверхность .

Из определения поверхностного интеграла следует, что если поверхность  разбить на части , , ..., , то

 

 

Выразим единичный вектор я через его проекции на оси координат:

.

 

Подставляя в интеграл выражения векторов F и n через их проекции, получим:

 

 

Произведение  есть проекция площадки  на плоскость Оху; аналогичное утверждение справедливо и для произведений:

 

 

где , ,

проекции площадки  на соответствующие координатные плоскости.

 

 

На основании этого интеграл записывают также в другой форме:

 

Пример.

Найти поток векторного поля  через часть плоскости  ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).

Решение.

Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(½; 0). Найдем координаты единичной нормали к плоскости:

 

 

Вычислим соответствующий поверхностный интеграл:

 

Заключение

 

В данной работе была рассмотрена дискретная теория поля. Вначале было введено понятие поверхностного интеграла. Поверхностный интеграл первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S обозначается

 

.

 

Поверхностный интеграл второго рода общего вида:

 

 

Далее рассматриваются свойства поверхностного интеграла первого рода. Поверхностный интеграл первого типа сводиться к обыкновенному двойному. Рассмотрены примеры вычисления поверхностных интегралов.

Рассмотрен механический смысл интеграла, откуда следует, что поверхностный интеграл есть поток векторного поля F через поверхность . Приведен пример вычисления потока векторного поля через часть плоскости.

 

Список литературы

 

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: "Наука", 1976. – 544 с.

2. Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006. – 410 с.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: "Наука", 1969. – 656 с.

4. http://matclub.ru/lec3/lec42.htm

5. http://ftoe.ru/list8/du43.htm