Главная | О нас | Обратная связь Автоматизация Автостроение Антропология Археология Архитектура Астрономия Предпринимательство Биология Биотехнология Ботаника Бухгалтерский учет Генетика География Геология Государство Демография Деревообработка Журналистика и СМИ Зоология Изобретательство Иностранные языки Информатика Информационные системы Искусство История Кинематография Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Литература Логика Маркетинг Математика Математический анализ Материаловедение Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика ОБЖ Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Программирование Производство Промышленность Психология Радио Разное Социология Спорт Статистика Строительство Теология Технологии Туризм Усадьба Физика Физиология Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электротехника Точечный и интервальный прогнозы 2019-07-03 405 Обсуждений (0) Точечный и интервальный прогнозы 0.00 из 5.00 0 оценок Скачать документ Обзор корреляционного поля   Эти данные скорее всего можно аппроксимировать при помощи линейной регрессии вида ŷ = а - b · x , как самой простой. Рассчитаем необходимые суммы и запишем их в таблице № 1:   Таблица №1: i x y x ² y ² x · y ŷ e e² A(%) 1 2,5 69 6,25 4761 172,5 66,40 2,60 6,75 3,76 2 3 65 9 4225 195 64,85 0,15 0,02 0,23 3 3,4 63 11,56 3969 214,2 63,61 -0,61 0,37 0,97 4 4,1 59 16,81 3481 241,9 61,44 -2,44 5,94 4,13 5 5 57 25 3249 285 58,65 -1,65 2,71 2,89 6 6,3 55 39,69 3025 346,5 54,61 0,39 0,15 0,70 7 7 54 49 2916 378 52,44 1,56 2,43 2,89 Сумма: 31,3 422 157,31 25626 1833,1 422,00 0,00 18,38 15,57 Среднее: 4,471 60,286 22,473 3660,857 261,871 - - - 2,22%   Ковариация между y и x рассчитывается по формуле , где , , . Дисперсия и среднее квадратическое отклонение для x и y находим по формулам:   = 2,479, = 26,490, 1,575, 5,147.  = -7,692 / 2,479 = -3,103; = 60,286 + 3,103 · 4,471 = 74,159   Получили уравнение регрессии: ŷ = 74,159 - 3,103·х (округлено до сотых). Оцениваем качество полученной линейной модели: а) TSS = 25624 - (31,3²) : 7 = 185,492; RSS = TSS - ESS = 185,429 - 18,38 = 176,051, где ESS = = 18,38 (в таблице №1); F - статистика = RSS · (n - m - 1) : ESS = 176,051 · ·5 :18,38 = 45,45. Табличное значение на 1% уровне значимости равно 16,26 (см. таблицу распределения Фишера - Снедекора). Фактическое значение F - статистики больше табличного на 1% уровне значимости, следовательно уравнение регрессии в целом значимо и на 5% уровне значимости. б) Средняя ошибка аппроксимации равна (ΣА)/7 = ((ΣIy-ŷI: y) · 100%) / 7 = 15,57 / 7 = =2,22%, что говорит о хорошей аппроксимации зависимости моделью (2,22% < 6%). Вывод: модель получилась приемлемая (в смысле аппроксимации). в) Коэффициент корреляции находим по формуле: = -0,949: сильная обратная линейная зависимость. г) Коэффициент детерминации находим следующим образом:  = 0,901 или вариация x определяет вариацию y на 90,1%.   Проверка на соответствие условиям теоремы Гаусса - Маркова   а) По таблице №2 рассчитаем статистику Дарбина - Уотсона: Таблица №2 i e² e e i-1 (e i -e i-1 )²   =16,050 : 18,38 = 0,8734. 1 6,75 2,60 - - 2 0,02 0,15 2,598 5,996 3 0,37 -0,61 0,149 0,576 4 5,94 -2,44 -0,610 3,342 5 2,71 -1,65 -2,438 0,628 6 0,15 0,39 -1,646 4,134 7 2,43 1,56 0,388 1,373 Итого: 18,38 - -1,559 16,050   Полученное значение попадает в область неопределённости: DW (0,7; 1,35). Это значит, что для прояснения вопроса относительно автокорреляции остатков необходимо дальнейшее исследование ряда остатков другими методами, в которых отсутствует зона неопределённости. б) Воспользуемся тестом серий Бройша - Годфри: Таблица №3 t e t e t-1 e² t-1 e t ·e t-1 ê t (y-bx) ² 1 2,598 0,149 0,022 0,387 0,074 6,371 2 0,149 -0,610 0,372 -0,091 -0,302 0,204 3 -0,610 -2,438 5,944 1,487 -1,208 0,358 4 -2,438 -1,646 2,709 4,013 -0,816 2,632 5 -1,646 0,388 0,151 -0,639 0,192 3,379 6 0,388 1,559 2,430 0,605 0,773 0,148 Итого: -1,559 -2,598 11,628

5,763

-1,287

13,092

На основании полученных данных построим уравнение регрессии без свободного члена вида ŷ=b·x. При этом стандартная ошибка коэффициента регрессии b, рассчитанная по формуле:

,

, = 1,181,

что меньше значения t _табл. =2,57. Это означает, что автокорреляция первого уровня отсутствует.

Однако следует отметить, что и тест Дарбина - Уотсона и тест серий Бройша - Годфри применяются только для выборок достаточно большого размера[1], в то время как предложенная нам для анализа выборка состоит только лишь из семи значений.

в) При помощи критерия серий проверим случайность распределения уровней ряда остатков. С 95% вероятностью распределение ряда остатков считается случайным, если одновременно выполняются два неравенства:

1)  

общее число серий должно быть больше двух, и 2)  - максимальная длина серии должна быть строго меньше пяти.

Данные для расчётов получаем из таблицы № 4.

Таблица № 4. Критерий серий линейная модель не проходит:

г) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверяем, используем RS-критерий:

= 2,63, где .

Значение нашего RS-критерия для 7 наблюдений практически попадает в интервал [2,67 3,69], (для 10 наблюдений) хотя и этот критерий определён для выборок более 10 единиц.

д) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена определяем отсутствие или наличие гетероскедастичности.

Таблица № 5.

Так как абсолютное значение статистики коэффициента ранговой корелляции =0,175 оказалась значительно меньше табличного значения , то гетероскедастичность отсутствует.

Вывод: линейная модель не соответствует всем предпосылкам регрессионного анализа (условиям теоремы Гаусса-Маркова) и, хотя она пригодна для прогнозирования, но возникает вопрос о её значимости.

Доверительные интервалы для параметра b регрессии

Стандартные ошибки для параметров регрессии находим по формулам:

= 0,46,

= 2,18.

Проверим на статистическую значимость коэффициент b модели, для чего рассчитаем t-статистику по формуле . Полученная t-статистика равна -6,742, что по модулю больше табличного значения t = 2,57. Экономически этот параметр интерпретируется так: при изменении дохода потребителей на одну единицу объёмы продаж изменятся на -3,103 ед.

Проверим на статистическую значимость коэффициент a модели, для чего рассчитаем t-статистику по формуле . Полученная t-статистика равна 33,992, что больше табличного значения t = 2,57. Доверительный интервал параметра b определяем по формуле:

;

s = = 1,917,

Доверительный интервал параметра b составляет ; или ( t _табл. = 2.57, Δ = 2,57 · 0,4602 = 1,1827).

Проведённый анализ коэффициентов регрессии говорит о том, что параметры регрессии значимы, кроме того и уравнение регрессии в целом значимо на 1% уровне значимости (cм. выше). Это позволяет использовать построенную нами модель для получения прогнозов.

Точечный и интервальный прогнозы

Вначале находим точечный прогноз для значения х, на 25% превышающего среднее значение  = 4,47 ( т.е. при  = 5,589), . Тогда стандартная ошибка прогноза составит:

,

t _табл. = 2.57, Δ = 2,57 · 2,18 = 5,604.

Интервальный прогноз для точечного прогноза при  = 5,589 ( ) составит:  или .

[1] Кристофер Доугерти. Введение в эконометрику. М.: Инфра М, 2001. С. 238.

2019-07-03

405

Обсуждений (0)

Точечный и интервальный прогнозы 0.00 из 5.00 0 оценок

Скачать документ