A ) Сечение геометрической формы.

Контрольная работа

Учащегося(щейся)

КОЛОДКО Александр Николаевич

337 группы

специальности Мелиорация и водное хозяйств

Задача 1

 

Для ступенчатого стального бруса требуется: а) определить значения продольной силы и нормального напряжения по длине бруса; б) построить эпюры  и ; в) определить абсолютное удлинение (укорочение) бруса. Модуль продольной упругости МПа.

Данные для задачи своего варианта взять из табл. 1 и схемы на рис. 8

 

 

Таблица 1

Вариант							,м	,м		,м
	кН		см2				см
49	220	100	20	18		12	50	70	80

 

Решение

1. Определение внутренних усилий.

Разбиваем стержень на участки, проводим сечения и рассматриваем отсеченные участки со свободного конца (рис.1,а).

Согласно определению величина продольной силы численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих на оставшуюся часть стержня, на ось стержня.

Участок , м:

кН.

Участок , м:

кН.

Участок , м.

кН.

По полученным данным строим эпюру продольных сил  (рис.1,б).

 

Рис.1. Расчетные схемы к задаче 1

 

2. Определяем нормальные напряжения .

Участок :

Па МПа.

Участок :

Па МПа.

Участок :

Па МПа.

Строим эпюру нормальных напряжений  (рис.1,в).

3. Определение абсолютного удлинения (укорочения) бруса.

Для определения абсолютного удлинения (укорочения) бруса найдем значения перемещений каждого участка бруса, используя формулу закона Гука.

При этом учтем, что в точке  (жесткая заделка) перемещение сечения бруса отсутствует. С этой точки будем отсчитывать ординаты перемещений.

 

;

м;

м;

м.

 

Таким образом, абсолютно брус укоротится на величину

м мм.

Ответ: мм (брус укоротится).

Задача 2

 

Подобрать сечения стержней 1 и 2 шарнирно-стержневой конструкции, приняв для растянутых – два равнополочных, для сжатых – два неравнополочных уголка. Расчет произвести по предельному состоянию. Расчетное сопротивление МПа, коэффициент перегрузки . Коэффициент условия работы .

Данные для задачи своего варианта взять из табл. 2 и схемы на рис. 9.

 

 

Таблица 2

Вариант		Углы, град
	кН
49	90	30	90	110

 

Решение

1. Определение реакций стержней.

В точке  пересекаются линии действия заданной силы  реакций стержней  и , поэтому выделяем узел  (рис.2), который рассматриваем как объект равновесия. Прикладываем к этому узлу заданную силу , направленную вдоль троса. При этом учитываем, что неподвижный блок  изменяет направление силы, но не влияет на ее значение. Освобождаем узел  от связей, которые осуществляются стержнями  и . Прикладываем вместо них реакции стержней  и , направляем их вдоль стержня от узла, то есть полагаем, что оба стержня растянуты.

 

Рис.2. Расчетная схема к задаче 2

Выбираем координатные оси  и , и составляем уравнения равновесия:

 

;       ;             (1)

;       ;                        (2)

 

Решаем уравнения равновесия и находим реакции стержней.

Из уравнения (2) находим

кН.

Из уравнения (1) получаем

кН.

Знаки реакций показывают, что в действительности стержень  сжат, а стержень  растянут.

2. Подбор сечений стержней.

При проектировании конструкций условие прочности по первому предельному состоянию записывается в следующем виде:

 

,                                    (1)

 

где – наибольшая расчетная нагрузка в стержне;

 – площадь сечения стержня;

 – коэффициент условий работы;

 – расчетное сопротивление материала стержня.

Из условия (1) находим требуемую площадь поперечного сечения стержня

 

.

 

Для сжатого стержня  будем иметь

м² см²

По табл. 4 сортамента [1, с.291], выбираем для заданного сечения стержня два неравнополочных уголка № 2,5/1,6, для каждого из которых площадь профиля см². Тогда суммарная площадь сечения стержня будет см² см².

Для растянутого стержня  получим

м² см²

По табл. 3 сортамента [1, с.286] выбираем для сечения стержня два равнополочных уголка № 4 (40´5), для каждого из которых площадь профиля см². Тогда суммарная площадь сечения второго стержня будет равна см² см².

Ответ: материал сжатого стержня АВ – два неравнополочных уголка № 2,5/1,6;

материал растянутого стержня ВС – два равнополочных уголка № 4 (40´5).

 

Задача 3

 

Найти главные центральные моменты инерции сечения: а) геометрической формы; б) составленного из стандартных профилей проката. Данные для задачи своего варианта взять из табл. 3 и схемы на рис. 10.

 

 

Таблица 3

Вариант						Швеллер, №	Полоса, мм
	см
49	15	40	20	15	20	30

 

Решение

a ) Сечение геометрической формы.

1. Определяем координаты центра тяжести фигуры.

Для этого проводим вспомогательные оси ,  таким образом, что ось  совпадает с нижним основанием фигуры, а ось  совпадает с ее вертикальной осью симметрии. Относительно выбранных осей координат определим положение лишь вертикальной координаты центра тяжести фигуры. Для этого разбиваем сечение на три прямоугольника I, II и два треугольника III (рис.3).

Ординату центра тяжести сечения определяем по формуле

 

,

 

где – площадь прямоугольника I;

см²;

 – расстояние от оси  до центра тяжести прямоугольника I;

см;

 – площадь прямоугольника II;

см²;

 – расстояние от оси  до центра тяжести прямоугольников II;

см;

 – площадь треугольника III;

см²;

 – расстояние от оси  до центра тяжести треугольников III;

см;

Подставляя числовые значения, получим

см.

Кроме того, .

По этим данным наносим точку  – центр тяжести сечения и проводим главные центральные оси сечения  и .

2. Вычисляем главные центральные моменты инерции сечения:

 

;  .

 

Для вычисления момента инерции прямоугольника I  относительно оси  используем формулу IV.10 [1, с.82]

 

,

где – момент инерции прямоугольника относительно собственной центральной оси ;

см⁴;

 – расстояние от оси  до центра тяжести прямоугольника I

см.

Подставляя числовые значения, получим

см⁴.

Аналогично находим моменты инерции прямоугольников II и треугольников III относительно оси :

 

,

 

где см⁴; см.

см⁴.

 

;

 

где см⁴; см;

см⁴.

Суммарный момент инерции относительно главной оси

см⁴.

Точно также вычисляем момент инерции относительно главной оси .

Для прямоугольника I

 

,

 

где см⁴;

см⁴.

Для прямоугольника II

 

,

 

где см⁴; см.

см⁴.

Для треугольника III

 

,

 

где см⁴; см.

см⁴.

Суммарный момент инерции относительно оси

см⁴.

5. Вычерчиваем сечение в масштабе 1:5 с указанием на нем всех осей и размеров (рис.2).

Рис.3. Сечение геометрической формы