Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно монотонная функция ƒ(x). Покажем, что данную функцию ƒ(x) в точках её непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию ƒ₁(x) с периодом 2μ ≥ a - b, совпадающую с функцией ƒ(x) на отрезке [a, b]. Таким образом, дополнили определение функции ƒ(x).

Разложим функцию ƒ₁(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией ƒ(x), т. е. мы разложили функцию ƒ(x) в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Рассмотрим следующий важный случай. Пусть функция ƒ(x) задана на отрезке [0, l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [ l, 0 ] , мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним определение данной функции так, чтобы при - l ≤ х < 0 было ƒ(x) = ƒ(-x). В результате получится четная функция. В этом случае говорят, что функция ƒ(x) «продолжена четным образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке [0, l] функцию ƒ(x) мы разложили по косинусам.

Если мы продолжим определение функции ƒ(x) при - l ≤ х <0 так: ƒ(x) = -ƒ(-x), то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. Таким образом, если на отрезке [0, l] задана некоторая кусочно монотонная функция ƒ(x), то её можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, таки по синусам.

 Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2π.

Пусть ƒ(x) – функция, удовлетворяющая условиям определения:

Пусть функция ƒ(x) с периодом 2π, имеющая на сегменте [-π, π] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте (т. е. она интегрируема на любом сегменте).

Тогда пусть ряд (2) является рядом Фурье функции ƒ(x). Преобразуем общий член этого ряда с помощью формул Эйлера, выражающих косинус и синус через показательную функцию. Имеем:

,

где .

Полагая ещё  получим для частичных сумм ряда Фурье выражение

Для новых коэффициентов c_n получаем формулу (учитывая формулы a_n и b_n).

Непосредственно видно, что эта формула верна для n = 0 и для n < 0 (последнее видно, например, из того, что  где  обозначает число, сопряженное с).

По доказанному имеем в точках дифферуемциемоcти:

Итак, в точках дифференцируемости

           (26)

где

Правая часть формулы (26) представляет собой комплексную форму ряда Фурье для функции с периодом 2π.

Комплексная форма ряда Фурье для функции с любым периодом. (Романовский стр.33)

Пусть ƒ(x) – функция с периодом 2l, удовлетворяющая условиям , указанным в пункте 6. Тогда подстановка x= lt/ π приводит нас к функции ƒ(lt/ π) с периодом 2π. В силу предыдущего пункта в точках дифференцируемости имеем:

Переходя как в ряде, так и формулах для коэффициентов к старому переменному х и замечая, что t = π x / l, dt=(π / l)dx, получим в точках дифференцируемости:

                    (27)

где

Правая часть формулы (27), где коэффициенты определяются равенствами (28), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 2l.