Применение в компьютерной графике

Благодаря простоте задания и манипуляции, кривые Безье нашли широкое применение в компьютерной графике для моделирования гладких линий. Кривая целиком лежит в выпуклой оболочке своих опорных точек. Это свойство кривых Безье с одной стороны значительно облегчает задачу нахождения точек пересечения кривых (если не пересекаются выпуклые оболочки опорных точек, то не пересекаются и сами кривые), а с другой стороны позволяет осуществлять интуитивно понятное управление параметрами кривой в графическом интерфейсе с помощью её опорных точек. Кроме того аффинные преобразования кривой (перенос, масштабирование, вращение и др.) также могут быть осуществлены путём применения соответствующих трансформаций к опорным точкам.

Наибольшее значение имеют кривые Безье второй и третьей степеней (квадратичные и кубические). Кривые высших степеней при обработке требуют большего объёма вычислений и для практических целей используются реже. Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут быть последовательно соединены друг с другом в сплайн Безье. Для того, чтобы обеспечить гладкость линии в месте соединения двух кривых, три смежные опорные точки обеих кривых должны лежать на одной прямой.

Преобразование квадратичных кривых Безье в кубические

Квадратичная кривая Безье с координатами  преобразовывается в кубическую кривую Безье с координатами:

Финитные функции

Финитной называется функция , определенная для всех , но отличная от нуля лишь на некоторой конечной области , называемой конечным носителем:

                                                              (2.1)

Для , определенных на , построение базиса  из финитных функций осуществляется следующим образом. Сначала область , в которой решается задача, некоторым регулярным образом покрывается конечным числом  перекрывающихся подобластей , например как на рис. 6.1:

                       (2.2)

Желательно, чтобы  только для , смежных с .

Подобласти  получили название конечные элементы.

Затем на каждом  как на конечном носителе строим базисную финитную функцию . Все функции таким образом выбранного базиса линейно независимы в силу условий (2.1), (2.2).

Отметим преимущества такого выбора базиса:

а) ввиду того, что  выбираются значительно меньшими  и при этом скалярные произведения

(2.3)

равны нулю для функций с непересекающимися носителями, матрица проекционного уравнения будет сильно разрежена. Более того, если условие  выполняется только для смежных носителей, то матрица получается ленточной, т.е. аналогична той, к которой приводят сеточные методы;

б) возможность выбора специфических приграничных конечных элементов и связанных с ними финитных функций, учитывающих особенности границы, позволяет эффективно решать краевые задачи на достаточно произвольной области .

Основная трудность аппроксимации финитными функциями состоит в сопряжении финитных функций на границах W_k таким образом, чтобы функция  в целом была непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка.

При таком выборе базиса естественно поставить вопросы о его полноте, выборе вида функций  и аппроксимационных свойствах разложения искомого решения

.                                                              (2.4)

На все эти вопросы частично дает ответ теория Стренга-Фикса.