Основной закон динамики вращательного движения

В инерциальной системе отсчёта угловое ускорение , приобретаемое телом, вращающимся относительно неподвижной оси, пропорционально суммарному моменту всех внешних сил , действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси:

. (I.109)

Можно дать и более простую формулировку основному закону динамики вращательного движения (его ещё называют вторым законом Ньютона для вращательного движения): вращающий момент равен произведению момента инерции на угловое ускорение:

. (I.110)

Моментом импульса (моментом количества движения, угловым моментом) тела называется произведение его момента инерции на угловую скорость :

. (I.111)

Момент импульса – векторная величина. Его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Изменение момента импульса определяется следующим образом:

. (I.112)

Изменение момента импульса (при неизменном моменте инерции тела) может произойти, только вследствие изменения угловой скорости и всегда обусловлено действием момента силы .

Согласно формуле , а также формулам (I.110) и (I.112) изменение момента импульса можно представить в виде:

. (I.113)

Произведение в формуле (I.113) называется импульсом момента силы или движущим моментом. Он равен изменению момента импульса.

Формула (I.113) справедлива при условии, что момент силы не меняется с течением времени . Если же момент силы зависит от времени, т.е. , то

. (I.114)

Формула (I.114) показывает, что: изменение момента импульса равно интегралу по времени от момента силы. Кроме того, если эту формулу представить в виде: , то из неё будет следовать определение момента силы: мгновенный момент силы представляет собой первую производную момента импульса по времени,

. (I.115)

Выражение (I.115) является ещё одной формой основного уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Вопрос 15

Момент инерции

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстоянии до рассматриваемой оси:

J=

Суммирование производится по всем элементарным массам m(i), на которые разбивается тело

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина г в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом г и внешним г + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра d,/ = r^2 dm (так как dr≤r то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно г), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrhrdr. Если р — плотность материала, то dm = 2πhpr^3dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

J=

но так как πR^3h - объем цилиндра , то его масса m= πR^2hp , а момент инерции

Теорема Штейнера

Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями:

J= + ma^2

* Формула позволяет рассчитать моменты инерции тел простейшей формы относительно некоторых осей.

1. Момент инерции однородного прямого тонкого цилиндрического стержня длины и массы относительно оси проходящей через его середину и перпендикулярной к его длине:

2. Момент инерции однородного сплошного цилиндра (или диска) радиуса и массы относительно оси симметрии перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр:

3. Момент инерции цилиндра радиуса , массы и высоты относительно оси, перпендикулярной к его высоте и проходящей через её середину:

4. Момент инерции шара (тонкостенной сферы) радиуса и массы относительно его диаметра (или оси проходящей через центр сферы):

5. Момент инерции стержня длины и массы , относительно оси проходящей через один из его концов и перпендикулярной к его длине:

 

6. Момент инерции полого тонкостенного цилиндра радиуса и массы , относительно оси цилиндра:

 

7. Момент инерции цилиндра с отверстием (колесо, муфта):

 

,

где и - радиусы цилиндра и отверстия в нём.

16.

Векторное произведение радиуса-вектора материальной точки на ее импульс: называют моментом импульса , этой точки относительно точки

Модуль вектора момента импульса равен:

, то есть .

 

Для замкнутой системы тел момент внешних сил всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не действуют на замкнутую систему.

Поэтому ,

 

 

то есть или

Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.
Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.

 

Гироскоп (пример:юла) – симметричное тело, вращающиеся вокруг своей оси с большой скоростью.

Момент количества движения гироскопа совпадает с его осью вращения.

17.

Электрический заряд – это мера участия тел в электромагнитных взаимодействиях.

Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными.

Закон Кулона:

.

Электрическое поле – это особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между заряженными частицами.

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора напряжённости совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Силовые линии кулоновских полей положительных и отрицательных точечных зарядов :