Способы математического доказательства

Раздел 1

Билет 6

Математические понятия. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями. Операции с понятиями.

Понятие- этоформа мысли, отражающая объекты (предметы и явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово (термин) или группа слов.

Объем понятия -это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Содержание понятия -это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Билет 11

Математическое доказательство. Умозаключения и их виды (дедуктивные, неполная индукция, аналогия). Схемы дедуктивных рассуждений.

Математическое доказательство - рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочка логических умозаключений, показывающая, что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно.

Умозаключение-это форма мышления, с помощью которой их одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода, или, как их еще называют, схемы дедуктивных умозаключений.

Рассмотрим наиболее часто использующиеся правила.

1. Правило заключения: .

В данном правиле А(х) Þ В(х) – общая посылка. Это может быть теорема, определение и, вообще предложение вида А(х) Þ В(х). Вторая посылка А(а) – частная посылка, а предложение В(а) – заключение.

Пример: Все числа, оканчивающиеся нулем, делятся на 10. Число 50 оканчивается нулем. Следовательно, число 50 делится на 10.

В основе этого правила лежит тождественно истинная формула ((А ® В) Ù А) ®В).

Докажем тождественную истинность этой формулы при помощи таблицы истинности.

1. Правило отрицания: .

Пример. Если число делится на 6, то оно делится на 3. Число 28 не делится на 3. следовательно, число 28 не делится на 6.

В основе этого правила лежит тождественно истинная формула ((А ® В) Ù ) ® ).

А	В	А® В		А® В Ù		(А® В Ù ) ®
И	И	И	Л	Л	Л	И
И	Л	Л	И	Л	Л	И
Л	И	И	Л	Л	И	И
Л	Л	И	И	И	И	И

3. Правило силлогизма: .

Пример. Все квадраты – ромбы. Все ромбы – параллелограммы. Следовательно, все квадраты – параллелограммы.

В основе правила лежит тождественно истинная формула (А ® В) Ù В ® С) ® (А ® С).

4. Правило контрапозиции: .

Пример. Если углы смежные, то их сумма равна 180о. Следовательно, если сумма углов не равна 180о, то углы не смежные.

В основе этого правила лежит тождественно истинная формула (А ® В) ® ( ® ).

А	В			А® В	®	(А ® В) ® ( ® )
И	И	Л	Л	И	И	И
И	Л	Л	И	Л	Л	И
Л	И	И	Л	И	И	И
Л	Л	И	И	И	И	И

Билет 12

Способы математического доказательства

(прямое и косвенное)