Теорема 4.4. Теорема косинусов для трехгранного угла.

Теорема 1

В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов: .

Следствие 1

В трехгранном угле каждый плоский угол больше абсолютной величины разности двух других углов: .

Проведем плоскость, пересекающую все ребра многогранного угла. Если в сечении получится выпуклый многоугольник , то многогранный угол называется выпуклым.

Теорема 2

В выпуклом многогранном угле сумма всех плоских углов меньше : .

Трехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости (чертеж 4.4.1). Общая

вершина О этих углов называется вершинойтрехгранного угла. Стороны углов называются ребрами, плоские углы при вершине трехгранного угла называются егогранями. Грани трехгранного угла образуют двугранные углы. Теорема 4.2. Неравенство треугольника для трехгранного угла.

Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

На одном из лучей трехгранного угла выберем произвольную точку A, а на другом – произвольную точку B(чертеж 4.4.2). Можно считать, что плоский угол AOB наибольший из трех его плоских углов. Пусть AOB = alpha. Два других плоских угла имеют величины beta и gamma. На отрезке AB возьмем точку D такую, что AOD = beta. На третьем луче трехгранного угла отложим отрезок OC = OD, причем AOC = beta, BOC = gamma, Δ AOC = Δ AOD. Отсюда AC = AD. По свойству треугольника AC + BC > AB или AC + BC > AD + BD, откуда BC > BD, так как AC = AD. Треугольники OBC и OBD имеют по две равных стороны. Поэтому против большей третьей стороны лежит наибольший угол, то есть BOC > BOD. Отсюда следует, что BOC + AOC > BOD + AOD. Или gamma + beta > alpha, что и требовалось доказать.

Теорема 4.3.

alpha + gamma + beta < 360°. Другими словами, сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

На чертеже 4.4.3 показан трехгранный угол OABC. Луч дополнительный относительно луча OA. Рассмотрим трехгранный угол Если BOC = alpha, AOC = beta, AOB = gamma, то A₁OB = 180° – gamma, A₁OC = 180° – beta. Согласно теореме 4.2, BOC < A₁OB + A₁OC, илиalpha < 180° – gamma + 180° – beta, откуда alpha + gamma + beta < 360°.

Теорема 4.4. Теорема косинусов для трехгранного угла.

где alpha, beta, gamma – плоские углы, A – двугранный угол, составленный плоскостями углов beta и gamma.

SM = a,

Применим теорему косинусов к Δ SPN и MPN.

Приравнивая полученые выражения, получим

Откуда

Замечание. С помощью доказанной теоремы можно вычислить величину двугранного угла, зная плоские углы трехгранного угла:

Если грани плоских углов взаимно перпендикулярны, получаем формулу трех косинусов:cos alpha = cos beta cos gamma.