Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

Известно, что пара действительных чисел (х0; у0) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изображать множество решений неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

Пример 1. Дать геометрическую интерпретацию решения неравенства .

Преобразуем данное неравенство к виду .

Построим в прямоугольной системе координат прямую .

Так как ордината любой точки, лежащей выше прямой , больше, чем ордината точки, лежащей на прямой и имеющей такую же абсциссу, то множество точек плоскости, расположенных выше этой прямой и служит геометрической интерпретацией решения заданного неравенства.

  у

1

х

Геометрическая интерпретация позволяет записать решение в виде

 или  

(для составления второй записи нужно преобразовать уравнение  к виду, разрешенному относительно х).

Пример 2. Решить систему неравенств:

Найдем на координатной плоскости пересечение областей , получим геометрическое решение заданной системы неравенств.

у=

(4; 1)

Для того, чтобы записать решения, найдем координаты точек пересечения линий , .

Решив систему уравнений найдем координаты искомых точек: (1; 4) и (4; 1), таким образом приходим к системе

Задания для самостоятельного решения

Приведенные ниже задачи, являются контрольным заданием. Необходимо решить все задачи, однако, если это не удалось, присылайте те, которые решены. Правила оформления работ смотрите во вступительной статье.

М9.1.1 Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

ж)

з)

и)

к)

М9.1.2 Указать, при каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечно много решений:

М9.1.3 Указать, при каких значениях параметра а уравнение не имеет решений:

М9.1.4 Решить систему уравнений:

М9.1.5 При каких значениях параметра а система имеет бесконечно много решений?

М9.1.6 Решить задачи:

а) сплав состоит из цинка и меди, входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

б) расстояние между пристанями А и В теплоход проходит по течению за 5 ч, а против течения за 6 ч. За сколько часов проплывет по течению это расстояние плот?

М9.1.7 Решить неравенство:

М9.1.8 Решить совокупность неравенств:

М9.1.9 Найти геометрические решения систем неравенств и, по крайней мере, один из видов записи решений:

а)  б)