Самостоятельная работа.

1. Вычислить:

 

1.

 

2. Упростить выражения:

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

 

3. Сравнить значения выражений:

 

1. 91² и 91³

2. 26⁴ и 5⁸

3.  и

4. 10²⁰ и 20¹⁰

5. 9⁵ и

6. и

7. 27³ и 3⁶

8.  и 28

9. 45² – 31² и 44² – 30²

10. 296³ – 214³ и (296 – 214)³

11. 2048³ и 2³³

12. 28¹⁶ и 79¹²

13.  и

 

 

Вопросы:

1. Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковым основанием.

2. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковым основанием.

3. Сформулируйте правило возведения в степень степени.

4. Чему равна степень с нулевым показателем.

5. Каким числом положительным или отрицательным будет степень:

а) отрицательного числа с четным показателем;

б) положительного числа с четным показателем?

6. Каким числом положительным или отрицательным будет степень:

а) положительного числа с нечетным показателем;

б) отрицательного числа с нечетным показателем.

Практическая работа №3

Вычисление и сравнение логарифмов.

 

Обучающая часть.

 

Логарифмом положительного числа b по основанию называется показатель степени с, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b.

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов:

7) Формула перехода к новому основанию:

Десятичный логарифм:

lga = log₁₀a

Натуральный логарифм:

lna = log_ea, e ≈ 2,718…

 

При сравнении логарифмов используют свойства логарифмической функции

При сравнении логарифмов с одинаковыми основаниями:

— если основание больше единицы (a>1), функция возрастает, значит, большему значению аргумента соответствует большее значение функции (то есть знак неравенства не изменяется);

— если основание меньше единицы (0<a<1), функция убывает, значит, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (знак неравенства меняется на противоположный).

С помощью схемы сравнение логарифмов можно изобразить так:

Примеры.

1. Вычислить:

(3log₇2 – log₇24) : (log₇3 – log₇9).

Решение: Используя свойства логарифмов, получим

(3log₇2 – log₇24) : (log₇3 + log₇9)=(log₇2³ – log₇24) : log₇27 = log₇3^–1: log₇3³ = – log₇3 : 3log₇3 =-(1/3).

Ответ: -1/3.

2.Вычислить: 4^log₂5+2log_0.253.

Решение: используя свойства степени, получим

4^log₂5+2log_0.253=4^log₂5x4^2log_0.253

1) (2²)^log₂5=(2^log₂5)² =5²=25

2)

3) 25×1/9 = 25/9.

Ответ: 25/9.

 

3.Упростить:

1.

2.

3.

4.

 

4.Сравнить:

и

Оба логарифма можно привести к основанию 3:

Так как

и основание 3>1, функция возрастает и знак неравенства не изменяется:

Следовательно,

Иногда бывает достаточно сравнить логарифмы с нулём.

Примеры.

Сравнить

Сравним каждый из логарифмов с нулём:

Так как первый логарифм больше нуля, а второй — меньше нуля, то

Сравнить

и

Сравниваем каждый из логарифмов с нулём:

Первый логарифм меньше нуля, второй — больше нуля, следовательно, первый логарифм меньше второго:

Сравнивать логарифмы можно, опираясь непосредственно на определение логарифма.

Например, сравним

и

Следовательно,