Критерий максимизации вероятностной гарантии

Введение

При исследовании статических моделей принятия решений в условиях неопределенности будем исходить из следующей схемы, предполагающей наличие:

1) у органа управления У множества взаимоисключающих решений , одно из которых ему необходимо принять;

2) у среды С множества взаимоисключающих состояний  , однако, в каком конкретном состоянии находится (или будет находиться) среда С, органу управления У неизвестно;

3) у органа управления У оценочного функционала, позволяющего сформировать оценочную матрицу , характеризующую «выигрыш»  или «проигрыш»  органа управления при выборе им решения , если среда С будет находиться (или находится) в состоянии  .

Под ситуацией принятия решений будем понимать тройку .

В развернутой форме ситуация принятия решений характеризуется матрицей, элементами которой являются количественные оценки  принятого решения  при условии, что среда С находится в состоянии

                               (1)

Краткие теоретические сведения

Критерии принятия решений в первой информационной ситуации

Первая информационная ситуация   характеризует случай, когда орган управления У располагает знанием априорного распределения вероятностей ,   на множестве состояний  среды С.

В этом случае полной характеристикой ситуации принятия решений будет форма

                     (2)

 

Критерий Байеса

Сущность этого критерия заключается в максимизации математического ожидания оценочного функционала

.                     (3)

 Название этого критерия в основном связано с преобразованием формул априорных вероятностей в апостериорные.

Согласно критерию Байеса, оптимальными решениями   (либо множеством таких оптимальных решений) считают такие решения, для которых математическое ожидание оценочного функционала достигает наибольшего возможного значения:

.                 (4)

Если максимум достигается на нескольких решениях из Ф множество которых обозначим через  ,

,                                     (5)

то такие решения будем называть эквивалентными.

Величина  называется байесовым значением оценочного функционала для решения .

Критерий Байеса — наиболее распространенный критерий в информационной ситуации Р. Большая популярность этого критерия объясняется, пожалуй, тем фактом, что критерий Байеса тесно связан с аксиомами теории полезностей (аксиома фон Неймана и Моргенштерна), в которой суммарная полезность определяется как математическое ожидание частных полезностей.

Если оценочный функционал задан в форме  , то вместо операции максимизации математического ожидания для определения лучшего решения используется оператор минимизации.

Если оценочный функционал задан в сожалениях или рисках, то соответствующую величину  принято называть байесовым риском для решения  .

Пример 1.

Пусть рассматривается ситуация принятия решений с тремя альтернативными решениями и тремя состояниями среды, заданная оценочной матрицей  и априорным распределением вероятностей на множестве состояний среды

Определим математические ожидания выигрышей для решений :

;

;

.

Таким образом оптимальным решением по критерию Байеса является решение

.

Критерий максимизации вероятностной гарантии

Определим наименьшее и наибольшее значение оценочного функционала:

и .                      (6)

Зафиксируем величину , характеризующую -уровень значений оценочного функционала в ситуации принятия решения.

Для каждого решения   определим вероятность   того, что значение оценочного функционала не меньше для состояния среды и решения .

Сущность критерия максимизации вероятностной гарантии заключается в нахождении решения

,                   (7)

либо множества таких решений

.                    (8)

Для фиксированных   и  неравенство  определяет множество состояний среды

,                              (9)

для которых это неравенство выполняется.

Тогда вероятность  можно определить в иде

.  (10)

    Очевидно, что для двух значений  и , таких, что  выполняются следующие свойства:

1) ;                                                                                 (11)

2) .                                                                    (12)

Если оценочный функционал задан в форме , то для каждого решения определяется вероятность  и применение критерия состоит в выборе решений

;                      (13)

или

.                 (14)

    Пример 2.

Рассмотрим применение критерия максимизации вероятностной гарантии в условиях примера 1.

    Зададим значение -уровня –  и определим вероятности  для альтернатив решений

;

;

.

При выбранном -уровне оптимальным является решение

.

Интерес представляет диаграмма изменения оптимальных решений в зависимости от -уровня. Для рассматриваемого примера зависимость оптимального решения от -уровня представлена таблицей 1 и рисунком 1.

 

Таблица 1 – зависимость изменения оптимального решения от -уровня

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	1,0	1,0	0,75	0,75	0,35	0,35	0,35	0,35	0,35
	1,0	1,0	1,0	0,65	0,65	0,65	0,4	0,4	0
	1,0	1,0	0,6	0,6	0,6	0,25	0,25	0,25	0,25

 

Рисунок 1 – зависимость изменения оптимального решения от -уровня