Поиск Пифагоровых троек

 

                                 (1)

 

Пусть Х – нечётное число, У – чётное число, Z – нечётное число

и Х > У > Z.

 

,

уравнение  представлено в виде , и далее оно расписано в виде произведения           (2)

 

 

Можно составить три системы уравнений:

 

а)

   

б)

  

в)

       

 

И по порядку начинаем рассматривать все три варианта.

Заранее составим заготовку для их решения.

 

 

 

Откуда следует

   

                                                                        (3)    

 

а)

     

 

Произведя подстановку соотношений (3) и с учётом уравнений (2) получим систему из трёх уравнений с тремя же неизвестными.

 

 

 

После соответствующих преобразований будет

 

 

Перед радикалом убран знак «минус» ибо комплексные решения не интересуют.

Простой перебор значений m даёт следующие результаты:

- при     m=2        , тогда        

- при     m=7       , тогда      

б) Система (б) после сокращений примет вид

 

   

 

 

После подстановок (3) и с учётом уравнения (2) получим систему уравнений:

 

     

 

 

 

откуда

 

 

При m≥1, Z =1, 3, 5, 7, 9, 11…. т.е. все нечётные числа, хотя единицу надо убрать, ибо она не удовлетворяет условию системы (4).

Из (Х-У)(Х+У)=Z² получаем, систему уравнений

                                                                              (4)

                                

Решая данную систему, получаем ряд значений Пифагоровых троек.

 

Х	5	13	25	41	61	85	113	145	181	221	265	313	365	421
У	4	12	24	40	60	84	112	144	180	220	264	312	364	420
Z	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29

 

В этой таблице, когда Z является простым числом, дальнейшие расчёты Пифагоровых троек отсутствуют.

Когда Z является составным числом, возможен дальнейший расчёт.

Возьмём Z=15         Z²=225

225=1х 225; 3х75; 5х45; 9х25

Будем рассматривать систему (4), подставляя подчёркнутые произведения .

  Х=39, У=36, Z=15, после сокращения на три

Х=13, У=12, Z=5

  Х=25, У=20, Z=15, после сокращения на пять        

Х=5,  У=4, Z=3

Х=17, У=8, Z=15, несколько неожиданный    

результат, ибо рассматривается по условию У > Z.

 

Возьмём Z=27 Z²=729

 

729=1х729; 3х243; 9х81

Расчёт показывает

Х=123, У=120, Z=27, после сокращения на три Х=41, У=40, Z=9;

Х=45, У=36, Z=27, после сокращения на девять Х=5, У=4, Z=3.

Возьмём Z=35         Z²=1225

 

1225 = 1х1225; 5х245; 7х175; 25х49.

Х = 125 (25), 91 (13), 37

У = 120 (24), 84 (12), 12

Z = 35 (7),   35 (5),   35

 

И последний раз в качестве примера

Возьмём Z=39 Z²=1521

 

1521=1х1521; 3х507; 9х169; 13х117.

Х = 255 (85), 89, 65

У = 252 (84), 80, 52

Z = 39 (13), 39, 39

 

К сожалению системы пока не вижу.

в) После преобразований получается:

 

  

 

 

И формула для Z.

 

Рассмотрим следующий вариант.

От вышеуказанного он отличается следующим условием: У < Z,

а следовательно и  ^< .

 

 

Получается девять систем уравнений.

 

г)

 

д)

 

е)

 

ж)

       

з)

     

и)

   

к)

   

л)

      

м)

     

 

И после подстановки в эти девять систем значений

из соотношений (3), получается также девять систем значений Х, У, Z.

 

г)

     

 

   

д)

     

 

   

е)

      

 

   

ж)

 

 

   

з)

 

 

   

и)

 

   

 

к)

 

   

л)

 

   

м)

  

 

   

 

И далее, - все девять систем надо решить.

 

г)  

- нет решения в целых числах при любых m.

д)

е) , при m=2, У=8;

 

Решим уравнение (X-Z)(X+Z)=64 перебором произведений

 

64=1х64; 2х32; 4х16.

 

Из соотношения 2х32, получаем

 

 

 

т.е.

   

 

 

Система

      

 

Даёт значения

 

ж) - нет корней в целых числах.

з) , при m=2, У=12 и т.д.

 

Разберём до конца У=12 и соответственно У²=144.

Число 144 даёт следующие интересующие нас произведения

 

144=2х72; 4х36; 6х24; 8х18.

 

Из формулы (Х-Z)(X+Z)=У² получим следующие значения Х, У, Z.

 

Х 37	20 (5)	15 (5)	13
У 12	12 (3)	12 (4)	12
Z 35	16 (4)	9 (3)	5

 

и) - нет корней в целых числах.

к) - нет корней в целых числах.

л) - нет корней в целых числах.

м) - нет корней в целых числах.

 

Рассмотрим следующий вариант:

- пусть все три числа чётные и Х>У>Z, как и  ^{>  >} .

Заранее знаю, что после сокращения всех членов на 2² уравнение перейдёт в область всех натуральных чисел.

 

 

 

Из последнего уравнения составим три системы уравнений, после соответствующих преобразований, используя соотношения

 

 

     

 

   

п)

 

 

   

р)

 

Рассмотрим все три полученные системы уравнений (н), (п), (р).

 

н)  и преобразуя – Z=2m, получились все чётные числа при m ≥1.

В таблице приведены значения троек для m ≤10, при условии Х-У=2.

 

Х	5	10	26	37	50	65	82	101
У	3	8	24	35	48	63	80	99
Z	4	6	10	12	14	16	18	20

 

п)  - то же выражение, что и в (н).

р)  

 

После упрощения.

 

При m=2, 3 значения троек будут

 

Х 13	34 (17)
У 5	16 (8)
Z 12	30 (15)

 

При рассмотрении вопроса о Пифагоровых тройках не было целью составление таблиц этих троек. Ибо целью этой статьи является показ возможностей алгоритма решения Диофантовых уравнений.