Доверительные интервалы для математического ожидания

Пусть x – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием а и известной дисперсией D[x]. Задача состоит в построении доверительного интервала для неизвестного математического ожидания а.

В качестве оценки параметра а возьмем выборочное среднее . Относительно случайных величин и известно следующее:

1) случайная величина распределена нормально и ее математическое ожидание равно ;

2) случайная величина тоже распределена нормально и ее математическое ожидание равно нулю, ;

3) дисперсия случайной величины равна ;

4) случайная величина распределена нормально.

Таким образом, построена функция – «агрегат» из выборочных значений, который представляет собой случайную величину со стандартным распределением, в данном случае – с нормальным . Распределение не зависит ни от оцениваемого параметра а, ни от единиц измерения выборочных значений.

Пусть Ф(х) – функция распределения случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение:

.

Зададимся доверительной вероятностью a и определим величину из уравнения .

Из рис. 1 видно, что если случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, то с вероятностью (1-a) ее значение попадает в интервал . Так как случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, то с вероятностью (1-a) ее значение тоже лежит в интервале и, следовательно, с вероятностью (1-a) выполняется неравенство .

Рис. 1. Доверительный интервал для математического ожидания

Это означает, что с вероятностью р=1-a интервал накрывает неизвестный параметр а. Получен универсальный алгоритм построения доверительных интервалов для неизвестного математического ожидания при известной дисперсии.

Итак, в данном случае .

Неизвестная дисперсия D[x]