ЭФФЕКТИВНЫЙ НАБОР ПОРТФЕЛЕЙ

Если объединить в портфель некоторое число активов, корреля-

ция доходности которых лежит в диапазоне от -1 до +1, то, в зависи-

мости от их удельных весов, можно построить множество портфелей

с различными параметрами риска и доходности, которые расположе-

ны в рамках фигуры ABCDE, как показано на рис.

Рациональный инвестор будет стремиться минимизировать свой

риск и увеличить доходность. Поэтому всем возможным портфелям,

представленным на рис. , вкладчик предпочтет только те, которые

расположены на отрезке ВС, поскольку они являются доминирую-

щими по отношению к портфелям с тем же уровнем риска или с той

же доходностью. Набор портфелей на отрезке ВС называют эффек-

тивным набором. Эффективный набор портфелей — это набор, со-

стоящий из доминирующих портфелей. Набор портфелей на участке

ВС называют еще эффективной границей. Она открыта Г. Марковцем

в 50-х гг. Чтобы определить данную границу, необходимо рассчитать

соответствующие удельные веса, входящих в портфель активов, при

которых минимизируется значение стандартного отклонения для

каждого данного уровня доходности, т. е. решить уравнение:

Другими словами, с помощью компьютерной программы необхо-

димо для каждого значения ожидаемой доходности портфеля опреде-

лить наименьший риск портфеля. Данный метод называется методам

Марковца. Неудобство его состоит в том, что при определения эф-

фективной границы для портфеля, включающего много активов, не-

обходимо произвести большое количество вычислений. Если порт-

фель состоит из п активов, то следует определить п ожидаемых

доходностей и стандартных отклонений и ковариаций.

В результате для определения эффективной границы следует рас-

считать отдельных показателей ожидаемой доходности, дис-

персий и ковариаций. Так, если мы определяем эффективную границу

для портфеля из 5 активов, то необходимо получить 20 исходных

данных, для 10 активов — уже 65, для 20 активов — 230, а для 30 ак-

тивов — 495 данных и т. д. Таким образом, большое количество вы-

числений делает модель Марковца не очень удобной для решения за-

дачи определения эффективной границы. Эта проблема

решается моделью Шарпа.

дов. Ее часто называют рыночной моделью. В модели Шарпа пред-

ставлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожи-

даемой доходностью рынка. Она предполагается линейной. Уравне-

ние модели имеет следующий вид:

где: E(ri ) — ожидаемая доходность актива;

Yi — доходность актива в отсутствии воздействия на него рыноч-

ных факторов;

βi — коэффициент бета актива;

Е(rm) — ожидаемая доходность рыночного портфеля;

εi — независимая случайная переменная (ошибка): она показывает

специфический риск актива, который нельзя объяснить действием

рыночных сил. Значение ее средней равно нулю. Она имеет постоян-

ную дисперсию; ковариацию с доходностью рынка равную нулю; ко-

вариацию с нерыночным компонентом доходности других активов

равную нулю.

Рассматривая вопрос об эффективной границе, мы привели метод

Марковца определения набора эффективных портфелей. Неудобство

его состоит в том, что для вычисления риска широко диверсифициро-

ванного портфеля необходимо сделать большое число расчетов. Мо-

дель Шарпа позволяет сократить число единиц требуемой информа-

ции. Так, вместо единиц информации по методу Марковца,

при использовании модели Шарпа необходимо только 3n + 2 едини-

цы информации. Такое упрощение достигается благодаря следующим

преобразованиям. Ковариация i-го и j-го активов на основе уравне-

ния Шарпа равна:

Если i =j, то σi, j = σi^2

Если i≠j, то σi, j = 0

Для определения риска портфеля подставим формулу в формулу, предложенную Марковцем:

Основные этапы, которые необходимо выполнить для построения оптимального портфеля :

1) Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности каждой ценной бумаги.

2) По рыночному индексу вычислить рыночные доходности rm для того же промежутка времени.

3) Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги от рыночной доходности (от индекса рынка).

4) Определить величину дисперсии рыночного показателя , а также и найти величины

5) Вычислить дисперсии ошибок регрессионной модели

6) Подставить эти значения в соответствующие уравнения