Инъективные, сюръективные, биективныеотображения

Отображениямножеств

ПустьU, V - непустыемножества, - (однозначное) отображениеизмножестваU в множествоV, т. е. каждомуэлементу сопоставляетсяэлемент .

Замечание

1. Сохраняяединообразие с курсоманализа, мыобозначаемприменениеотображенияf к элементу черезf(u), т. е. fпишемслеваотu. Возможно (а иногда и удобнее) былобыиспользоватьобозначениеuf.

2. Если , тоf=f', еслидлялюбого имеемf(u)=f'(u).

3. КатегорияSet, в которойобъекты - множества, морфизмы - отображениямножеств, являетсяоднойизосновныхкатегорий в математике.

Инъективные, сюръективные, биективныеотображения

Рассмотримобразотображения

Можнорассмотретьтакжеполезноеотношениеэквивалентности намножествеU, определяемоеотображением ,

Определение.Отображение называется:

1. инъективным, еслиразныеэлементы в Uприотображенииfпереходят в разныеэлементы в V (т. е. ),

2. сюръективным, есликаждыйэлемент в VявляетсяобразомнекоторогоэлементаизU (т. е. , другимисловами, ),

3. биективным, еслиотображениеfинъективно и сюръективно (т. е. ).

Замечание

1. В болеераннейматематическойлитературедлябиективногоотображенияиспользоваласьболеедлиннаякомбинацияслов: "взаимнооднозначноеотображениена",

2. иногдадлясюръективногоотображения мыбудемговорить, что " fотображаетмножествоUнамножествоV ".

Задачи

1. Пусть|U|=m, |V|=n. Доказать, что .

2. Пусть|U|=m, L(U) - совокупностьвсехподмножествмножестваU (включаяпустоеподмножество). Доказать, что|L(U)|=2^m.Указание.

Дляподмножества рассмотретьегохарактеристическуюфункцию 

Следствие

 .


3. Найтичислоинъективных (сюръективных) отображений , где|U|=m, |V|=n.

Пример.

1. Отображениеf: N -> N, f(n)=n+1, являетсяинъективным, нонеявляетсясюръективным.

2. Отображениеf: N -> N, f(1)=1 и f(n)=n-1дляn>1, являетсясюръективным, нонеявляетсяинъективным.

3. Тождественноеотображение , 1_U(u)=uдлявсех , очевидно, являетсябиекцией.

Лемма. ПустьU - конечноемножество, .Тогдаравносильныусловия:

1. f - инъективноеотображение;

2. f - сюръективноеотображение.

Доказательство.

Пусть . Таккак - инъективноеотображение, то .Поскольку , , то , т. е. f - сюръективноеотображение.

Допустимпротивное, т. е. что неявляетсяинъективнымотображением.Тогда длянекоторых , .Следовательно, |Im f|<n=|U|, поэтомуIm f<U, т. е. отображениеfнеявляетсясюръективным, чтоприводит к противоречию.

№6

Определение.Еслидляподмножества b : b, томножествоX называетсяограниченнымсверху, а числоb - числом, ограничивающимсверхумножествоX.

Множество ограниченносверху b : .


Определение.Множество, неявляющеесяограниченнымсверхумножеством, называетсянеограниченнымсверхумножеством.

Множество неограниченносверху .


Определение.Еслидляподмножества , томножествоX называетсяограниченнымснизу, а числоa - числом, ограничивающимснизумножествоX.

Множество ограниченноснизу .


Определение.Множество, неявляющеесяограниченнымснизумножеством, называетсянеограниченнымснизумножеством.

Множество неограниченноснизу .


Определение.Множество, ограниченное и сверху и снизу, называетсяограниченныммножеством.

Определение.Множество, неявляющеесяограниченным, называетсянеограниченныммножеством.


Определение.Наименьшеесредивсехчисел, ограничивающихсверхумножество , называетсяеговерхнейгранью и обозначаетсячерезsup x или .

β - верхняяграньмножества и .


Определение.Наибольшеесредивсехчисел, ограничивающихснизумножество , называетсяегонижнейгранью и обозначаетсячерезinf x или .

α - нижняяграньмножества и .


Пример. , где1 = sup A;0 = inf A.


Теорема. ограниченноесверхунепустоечисловоемножествоимеетверхнююгрань, а всякоеограниченноеснизунепустоечисловоемножествоимеетнижнююгрань.

Доказательство.ПустьX - ограниченноесверхунепустоечисловоемножество.ОбозначимчерезY множествовсехчисел, ограничивающихсверхумножествоX.МножествоX ограниченосверху, поэтомумножествоY непусто.Каждыйэлемент ограничиваетсверхумножествоX, т.е. . Элементыx и y являютсяпроизвольнымиэлементамисоответственномножествX и Y, поэтому, в силусвойстванепрерывностидействительныхчисел, и имеетместонеравенство .

Выполнениенеравенства означает, чточислоβ ограничиваетсверхумножествоX, а выполнениенеравенства длявсех ,т.е. длявсехчисел, ограничивающихсверхумножествоX, означает, чточислоβ являетсянаименьшимсредивсехтакихчисел, т.е.верхнейграньюмножестваX: β = sup X.

-е верхнейграни у ограниченногосверхунепустогомножествадоказано.

ЕслитеперьY - непустоеограниченноеснизучисловоемножество, тоотнесём к множествуX всечисла, ограничивающиеснизумножествоY.

Аналогичнорассмотренномуслучаюверхнейграни, легкоубеждаемся, что, в силусвойстванеперрывностидействительныхчисел, и имеетместонеравенство .

Этоозначает, чтоα = inf Y.Теоремадоказана.

№9

нету достоверной информации!!!!

№10