лектор: доцент Фаминская М.В. (2011 г. осень)

Вопросы к коллоквиуму по курсу математических методов и моделей в экологии

лектор: доцент Фаминская М.В. (2011 г. осень)

1. Вариационный, статистический и интервальный ряды.

Вариационный – от меньшего к большему, статистический ряд с указыванием частот возникновения, интервальный – масса данных записана по кол-ву возникновений в границе интервалов (непрерывные признаки, большой объём выборки).

2. Оценки математического ожидания и дисперсии (Примеры).

Мат ожидание – арифметическое среднее (для интервальных рядов берем середину интервала как значение для вычисления среднего). Дисперсия – рассеяние признака около мат ожидания.

маленькая выборка; большая выборка

3. Интервальные оценки математических ожиданий. Сравнение с фиксированной величиной. (Примеры).

Доверительным интервалом называется интервал, содержащий истинное значение параметра с заданной доверительной вероятностью (степень достоверности - доверительная вероятность или надежность)

Делается в 3 этапа 1) находим по таблице 3 (распределение Стьюдента) 2) находим точность оценки 3) находим границы дов. Интервала .

Сравнение с фикс. величиной если X_min>фикс. Величины => превышено, если X_max<фикс. Величины => не превышено, если внутри диапазона – результаты недостоверны , все вышесказанное с достоверностью

4. Статистические гипотезы. Ошибки первого и второго рода. (Примеры на определение рода ошибки).

Статистической гипотезой называется предположение о виде распределения или о параметрах известных распределений. Проверить статистическую гипотезу – это значит проверить, согласуются ли данные, полученные из выборки с этой гипотезой. Гипотезу, выдвинутую для проверки ее согласия с выборочными данными, называют нулевой (основной) гипотезой и обозначают H0. Также выдвигается альтернативная или конкурирующая гипотеза, которая противоречит основной и которая обозначается H1.

Ошибка 1 рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка 2 рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность допустить ошибку 1 рода называют уровнем значимости (задается заранее, имеет значения 0,1; 0,05; 0,005; 0,001)

5. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных совокупностей. (Примеры на правильность проведения проверки гипотезы).

распределение фишера, далее определяем степени свобод (k_б=n-1 выборки с большей дисперсий, k_м =n-1 выборки с меньшей дисперсией), далее находим F_крит по таблице 7. Если F_в<F_кр то принимается нулевая гипотеза (различия незначительны)

6. Проверка гипотез о равенстве средних двух нормальных совокупностей (независимые выборки).

для больших обьемов : ; (односторон); ; далее таблица2 значения функции лапласа, принятие решения Н0 - Nв<Nкр

7. Сравнение выборочной средней нормальной совокупности с заданным значением.

(односторон); ; далее таблица2 значения функции лапласа, принятие решения Н0 - Nв<Nкр

8. Проверка гипотез о равенстве средних двух нормальных совокупностей (зависимые выборки).

1) Вычисляем разность (d=y-x) 2) находим среднее d. 3) находим находим

4) если Тв<Ткр то Н0 (изменений не произошло)

9. Таблицы наблюдений. Оценки числовых характеристик. Свойства коэффициента корреляции. Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции. (Примеры)

Таблицы наблюдений таблицы вида значения, частота Х; значение частота У. оценки: а) математических ожиданий, б) несмещенных оценок дисперсии в) корреляционного момента:

г) коэффициента корреляции: (Свойства: 1.меньше единицы по модулю Симметричность: , Если случайные величины X и Y независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю: . Для проверки используется , распределение Стьюдента с k=n-2 степенями свободы

10. Уравнения линейной регрессии. Положение точек наблюдения относительно линии регрессии при различных коэффициентах регрессии. (Примеры)

; ; ; . Чем ближе коэффициент регрессии к нулю, тем более рассеянными становиться точки наблюдения.

11. Проверка гипотез об однородности выборок с помощью критерия «хи-квадрат».

;

12. Проверка гипотез о независимости двух признаков с помощью критерия «хи-квадрат». Матрицы сопряженности 2х2.

, если то признаки зависимы (k= (кол.строк-1)*(кол.стоб-1))

13. Экспоненциальная модель Мальтуса для изолированной однородной популяции. (Примеры).

Закон Мальтуса: В неограниченной стационарной и благоприятной среде размер популяции экспоненциально возрастает Показатель роста можно вычислить , ; ; … -(почему-то важна)

14. Логистическая модель для изолированной однородной популяции. (Примеры).

к – емкость среды, N – численность популяции.

15. Устойчивость решения в обобщенной логистической модели (задача об опасности жесткого планирования при эксплуатации экосистем). (Примеры).

Нахождение критических точек. ; (ax²+bx+c=0; ;x₁x₂=c/a виет )

16. Модель «хищник-жертва» взаимодействия двух видов (допущения, уравнение, типы трофической функции). (Примеры).

Допущения : однородная среда, численность вида описывается одной переменной, пренебрегаем случайными флуктуациями, взаимодействие мгновенное. Трофические типы: конкуренция, симбиоз, хищничество.

17. Классическая модель Вольтерра системы «хищник-жертва». (Примеры).

18. Учет внутривидовой конкуренции в модели Вольтерра. (Примеры).