Линейные дифференциальные уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядканазывается уравнение вида

.(1)

Здесь функции и заданы и непрерывны в некотором промежутке (a;b).

Уравнение (1) называется линейным неоднородным, или уравнением с правой частью. Если же , то уравнение называется линейным однородным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему.

Зная одно частное решение y₁ линейного однородного уравнения, можно с помощью линейной замены искомой функции понизить порядок, а, следовательно, и порядок соответствующего неоднородного уравнения на единицу. Полученное уравнение (n – 1)-го порядка относительно z также является линейным.

Вопрос 8.

Линейные однородные дифференциальные уравнения.

Общее решение линейных уравнений можно найти по их известным частным решениям. Приведем теорему о структуре общего решения линейного однородного уравнения.

Теорема (о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Если y₁, y₂, … , y_n – линейно независимые частные решения уравнения

,

то есть общее решение этого уравнения ( – произвольные постоянные)

Функции называются линейно независимыми в промежутке (a; b), если они не связаны никаким тождеством

,

где – какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно. Для случая двух функций это условие можно сформулировать так: две функции y₁(x) и y₂(x) линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной: .

Например:

1) y₁=x, y₂=x² – линейно независимы;

2) , – линейно независимы;

3) , – линейно зависимы.

Достаточным условием линейной независимости n функций, непрерывных вместе со своими производными до (n – 1)-го порядка в промежутке (a; b), является то, что определитель Вронского (вронскиан) W[y₁, y₂, … , y_n] этих функций не равен нулю ни в одной точке промежутка (a; b), т.е.

Если данные n функций являются частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то условие необращения в нуль является не только достаточным, но и необходимым условием линейной независимости этих n решений.

Совокупность n решений линейного однородного уравнения n-го порядка, определенных и линейно независимых в промежутке (a; b), называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений y₁(x) и y₂(x); его общее решение находится по формуле

.

Вопрос 9.